a - On désire se ramcncr à un système identique notk :
AX=Li’
CH.41
dc klle sorte que l’on puisse décomposer la matrice A en une diffhcncc dc deux matrices :
A=I-M
(H.5)
oh 1 est la matrice uniti: d’ordre n et où AP est une matrice d’ordre 7~ n’ayant cpr: dw z6ros sur
la diagonale principale.
Les éléments de A’ sont notés ulk:; ceux de A notés uik, ct ceux de Af sou!, noth nrlk.
Montrer que toujours la décomposition proposée est possihlc dans les conditions de l’honck.
Exprimer les éléments de A en fonction de ceux de A’ puis ceux de AJ. Dormer l’expression des
ékments hh du vecteur B en fonction des Clhcnts Oit du veckwr B’ ct des 6léments de A’.
b - En rcmplaqant dans l’équation (H.4) la matrice A par son cxprcssion donnée en (H.5) i
montrer que l’on peut générer un processus itkratif de valeurs Xk dc X qui permet effectivement
dc calculer la solution X. On écrira explicitcmcnt l’kquatiori matricielle T i laqucllc cc processus
ohbit.
Partant du vcctcur X0 (dont toutes les composantes sont nulles par cxcmple). expliciter les
vecteurs X1, X2, X:3, . . , Xk, en fonction de 1, Af ct B.
c - Qucllc est la lirrlite 2 dc Xk quand k tend vers l’infini? Montrer que 2 rst, hicn solution
du problhc.
d - On SC propose d’étudier la convergence de la procédure. Montrer que la sllitcx des Xk
converge à condition que W’ tende vers xkro quand p tend vers l’infini. Quelle propribt,é doit,
vérifier la matrice: M pour qu’il en soit ainsi‘?
e - Quand cette dernière condition n’est pas vérifiée, le processus est divergent. Proposer
néanmoins une procbdure qui permette quand mhe l’okention dc la solution X en exploitant
les donnkes fournies par l’algorit,hme divergent.
5.5. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice symétrique
(méthode de Choleski)
1. - On corlsidere une matrice carrée A d’ordrr: n, dont les éléments sont noti:s CQ~. On suppose
que cette matrice est régulikc (ou non singulière : son dCterminant est différent dc zkro). On
décompose cette matrice cn un produit de deux matrices triangulaires L et S, L ktant triangulaire
infkricurc avec des élérnents quelconques sur la diagonale, S btant, triangulaire supkrieurc avec
des 1 sur la diagonale: de tcllr sorte que A = LS. On désigne par I/k les 6h?mcnts de L et par
.slk les éléments dc S, mais on ne demande pas de les calculer.
a - On se propose de rkoudre le système linéaire AX = B où B est un vecteur colonne
donné dont les éléments sont notés bl. Montrer qu’il est kquivaltnt de rfsoudre le systhe
SX = L-lB =Y.
b - Supposons que l’on connaisse les Clherlts y~ du vecteur colonne Y. Montrer comment
calculer dircctcmcnt la solution du système SX = Y.
c - Maintenant, il s’agit de calculer Y. Écrire explicitement le système B = LY, puis les
relations cntrt les &?nients yk, l,, et b,.. En dkluirc la valeur des yk en fonction des 6,,,,. h,. ct
des yys déjà calculés (s = 1, 2, . , (k ~ 1)).
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AX=Li’
CH.41
dc klle sorte que l’on puisse décomposer la matrice A en une diffhcncc dc deux matrices :
A=I-M
(H.5)
oh 1 est la matrice uniti: d’ordre n et où AP est une matrice d’ordre 7~ n’ayant cpr: dw z6ros sur
la diagonale principale.
Les éléments de A’ sont notés ulk:; ceux de A notés uik, ct ceux de Af sou!, noth nrlk.
Montrer que toujours la décomposition proposée est possihlc dans les conditions de l’honck.
Exprimer les éléments de A en fonction de ceux de A’ puis ceux de AJ. Dormer l’expression des
ékments hh du vecteur B en fonction des Clhcnts Oit du veckwr B’ ct des 6léments de A’.
b - En rcmplaqant dans l’équation (H.4) la matrice A par son cxprcssion donnée en (H.5) i
montrer que l’on peut générer un processus itkratif de valeurs Xk dc X qui permet effectivement
dc calculer la solution X. On écrira explicitcmcnt l’kquatiori matricielle T i laqucllc cc processus
ohbit.
Partant du vcctcur X0 (dont toutes les composantes sont nulles par cxcmple). expliciter les
vecteurs X1, X2, X:3, . . , Xk, en fonction de 1, Af ct B.
c - Qucllc est la lirrlite 2 dc Xk quand k tend vers l’infini? Montrer que 2 rst, hicn solution
du problhc.
d - On SC propose d’étudier la convergence de la procédure. Montrer que la sllitcx des Xk
converge à condition que W’ tende vers xkro quand p tend vers l’infini. Quelle propribt,é doit,
vérifier la matrice: M pour qu’il en soit ainsi‘?
e - Quand cette dernière condition n’est pas vérifiée, le processus est divergent. Proposer
néanmoins une procbdure qui permette quand mhe l’okention dc la solution X en exploitant
les donnkes fournies par l’algorit,hme divergent.
5.5. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice symétrique
(méthode de Choleski)
1. - On corlsidere une matrice carrée A d’ordrr: n, dont les éléments sont noti:s CQ~. On suppose
que cette matrice est régulikc (ou non singulière : son dCterminant est différent dc zkro). On
décompose cette matrice cn un produit de deux matrices triangulaires L et S, L ktant triangulaire
infkricurc avec des élérnents quelconques sur la diagonale, S btant, triangulaire supkrieurc avec
des 1 sur la diagonale: de tcllr sorte que A = LS. On désigne par I/k les 6h?mcnts de L et par
.slk les éléments dc S, mais on ne demande pas de les calculer.
a - On se propose de rkoudre le système linéaire AX = B où B est un vecteur colonne
donné dont les éléments sont notés bl. Montrer qu’il est kquivaltnt de rfsoudre le systhe
SX = L-lB =Y.
b - Supposons que l’on connaisse les Clherlts y~ du vecteur colonne Y. Montrer comment
calculer dircctcmcnt la solution du système SX = Y.
c - Maintenant, il s’agit de calculer Y. Écrire explicitement le système B = LY, puis les
relations cntrt les &?nients yk, l,, et b,.. En dkluirc la valeur des yk en fonction des 6,,,,. h,. ct
des yys déjà calculés (s = 1, 2, . , (k ~ 1)).
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