5.2. Système linéaire surdéterminé
On envisage l’ét,udc d’un systPmc linéaire de 11 équations 5. 711 inconnues awc II 2 m. Le système
appel6 SI se prkente sous la forme :
que l’on 6crira en notation matricicllc :
AX=B.
Au moyen dc la méthode tics moindres carrbs, il s’agit dc rkluire cc systkc SI au système
SS appel6 système des équations normales. dc m équations CI rn ir~connues.
Montrer yuc lr syst,èmc des Cqnations
normales s’écrit, :
ATAX = ATB
où A7’ est la matrice transposée dc A.
Rhliser un programme qui ét,ablit le systeme des k~uations normales puis qui lc résout
nlirriéri
5.3. Résolution d’un système linéaire volumineux
On consitlhe un syst?me lin&& invcrsible AX = B dans lequel 14 est ~III(’ matrice carr& d’ordre
IV. Mallleurcllserrlcnt la matrice A est beaucoup trop volurnintuse pour tenir dans la mémoire
centrale du micro-ordinateur dont on dispose. 011 se propose dc fractionner la matrice A et le
vecteur B respect,ivement cn quatre sous-matrices et deux sous-vecteurs dr, la manière suivantje :
1:: nri#=~i;~
Montrer que lc problème peut SC ramener à la résolut,ion tics deux systCmes suivants :
AIX1 + A2X2 = B,
w4
AcsXI + A4Xâ = BL
CH.31
et doniicr les conditions sur l’ordre des matrices pour que dc telles équations puissent, avoir un
sens ; pour cela on désignera par Il et kl rcspectivcment lc nombre dc lignes et le nombre de
colonnes de la matrice A,. II et kl positifs IIOII nuls strictcmcnt inf6ricwrs à N.
On SC propose d’~limincr le vecteur X1 entre les dwx équatiorls (H.2) ct (H.3). Donner
l’expression de X1 tir6e dc (H.2). E n reportant cette expression dms (H.3). dormcr l’expression
de X2.
Expliyucr la méthode à suivre pour calculer cffectivcment X2. Pour cela on dbtaillrra chacune
des opérat,ions
à. rfaliser.
Détailler eusuitc la mét,hodc pour obtenir Xl.
5.4. Résolution d’un système linéaire par la méthode itérative de Jacobi
On considère 1111 système linéaire de ,rL Equations à n inconnues que l’on kit, sous la forme
mat,ricirlle uswlle :
A’X = B’
où A’ est UIIC matrice d’ordre YZ sur laqucllc on fait l’llypothèse qu’elle est non singulihe, X le
vecteur des incommcs à, 71 composantes et LI’ lc vecteur sec:o~~tl mcmbrc a ré composantes.
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On envisage l’ét,udc d’un systPmc linéaire de 11 équations 5. 711 inconnues awc II 2 m. Le système
appel6 SI se prkente sous la forme :
que l’on 6crira en notation matricicllc :
AX=B.
Au moyen dc la méthode tics moindres carrbs, il s’agit dc rkluire cc systkc SI au système
SS appel6 système des équations normales. dc m équations CI rn ir~connues.
Montrer yuc lr syst,èmc des Cqnations
normales s’écrit, :
ATAX = ATB
où A7’ est la matrice transposée dc A.
Rhliser un programme qui ét,ablit le systeme des k~uations normales puis qui lc résout
nlirriéri
5.3. Résolution d’un système linéaire volumineux
On consitlhe un syst?me lin&& invcrsible AX = B dans lequel 14 est ~III(’ matrice carr& d’ordre
IV. Mallleurcllserrlcnt la matrice A est beaucoup trop volurnintuse pour tenir dans la mémoire
centrale du micro-ordinateur dont on dispose. 011 se propose dc fractionner la matrice A et le
vecteur B respect,ivement cn quatre sous-matrices et deux sous-vecteurs dr, la manière suivantje :
1:: nri#=~i;~
Montrer que lc problème peut SC ramener à la résolut,ion tics deux systCmes suivants :
AIX1 + A2X2 = B,
w4
AcsXI + A4Xâ = BL
CH.31
et doniicr les conditions sur l’ordre des matrices pour que dc telles équations puissent, avoir un
sens ; pour cela on désignera par Il et kl rcspectivcment lc nombre dc lignes et le nombre de
colonnes de la matrice A,. II et kl positifs IIOII nuls strictcmcnt inf6ricwrs à N.
On SC propose d’~limincr le vecteur X1 entre les dwx équatiorls (H.2) ct (H.3). Donner
l’expression de X1 tir6e dc (H.2). E n reportant cette expression dms (H.3). dormcr l’expression
de X2.
Expliyucr la méthode à suivre pour calculer cffectivcment X2. Pour cela on dbtaillrra chacune
des opérat,ions
à. rfaliser.
Détailler eusuitc la mét,hodc pour obtenir Xl.
5.4. Résolution d’un système linéaire par la méthode itérative de Jacobi
On considère 1111 système linéaire de ,rL Equations à n inconnues que l’on kit, sous la forme
mat,ricirlle uswlle :
A’X = B’
où A’ est UIIC matrice d’ordre YZ sur laqucllc on fait l’llypothèse qu’elle est non singulihe, X le
vecteur des incommcs à, 71 composantes et LI’ lc vecteur sec:o~~tl mcmbrc a ré composantes.
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