ANNEXE H. PR.OIIL&ES ET EXERCICES
a - Donner l’expression des coordonnCes
x1 et 11~ en fonction de ,Q. ?jU: al, bl et R, cette
dernière quantité 6tant ainsi définit : RI = alto + blyo + q.
b - Donner l’expression des coordonnées z2 et y> en fonction de ,x1; 11~. nz. b2 et R2 ccttc
dernikrc quantité étant ainsi définit : RZ = qgl + bayl + c2.
2. Cas généra/ - Lintariscr le système
f(x, Y) = 0
g(x, y) = 0.
Par ce procédé nous sommes ramcni: au problème préc6dent. il suffit de remplacer les
coefficients nl,~. 01: 02 et RI, Rz par les nouvcllcs valeurs fournies par la linéarisation : donrrer
les expressions de a1 , ~2, bl, hz ct RI, Rz en fonction de f(z, y), g(z; I/) et de leurs dbrivks
partielles.
Donner alors les expressions de xk, & en fonction de xh-1; 1~k-1 puis SQ 1. ?/k-+l en fonction
de xk, IJ~.
Donner les expressions des diffkrents coefficients calculés sur l’exrmplc suivant :
f(x, y) = x2 + 4y2 - 36 = 0
g(s, y) = x2 + y2 - 12~ + 27 = 0
5. Éléments de calcul matriciel
5.1. Résolution d’un système linéaire
Soit 1111 système dc n équations & n > inconnues. Rkaliser un programrne permct,tant la rtsolution
de ce système linéaire par la méthode des pivots, puis le transformer en sous-programme.
Dans le cas où la matrice est mal conditionnée ou encore lorsque son déterminant est voisin
de zPro, on rencontre des difficultés pour obtenir un résultat raisonnable. Voici une m@thode
perrnettant éventuellernent dc se tirer d’affaire.
On peut soupçonner dc tels problèmes quand la permutation dc lignes du système linéaire
fournit des résultats difErents les uns des autres et que les troncaturrs des nombres ne peuvent
pas directement expliquer.
a - On calcule une première valeur j& déterminant par le produit des pivots. Pour obtenir
une erreur minimum à chaque ktape du calcul il faut amener 11011 pas le pivot lc plus grand
(car cela conduit1 à amener en fin de calcul les pivots les plus pctit,s qui seront enta&.% d’une
importante erreur puisque le produit des pivots est une constante.. .) mais le pivot dont le module
est lc plus proche de z/la,l ce y ui conduit à une erreur rninirnum sur l’enscmblc des calculs.
b - On calcule une seconde valeur A, du déterminant cn amenant chaque fois le pivot dont
le module est le plus proche de m. 0 n rCpèt,e l’opération jusqu’A cc que l’on obtienne des
valeurs stables & et de m.
c - On invcrsc la matrice (ou l’on rkout le syst@me linéaire) en amenant chaque fois le pivot
dont le module est le plus proche de m.
d - Rkaliser 1111 tel prograrnme.
453
a - Donner l’expression des coordonnCes
x1 et 11~ en fonction de ,Q. ?jU: al, bl et R, cette
dernière quantité 6tant ainsi définit : RI = alto + blyo + q.
b - Donner l’expression des coordonnées z2 et y> en fonction de ,x1; 11~. nz. b2 et R2 ccttc
dernikrc quantité étant ainsi définit : RZ = qgl + bayl + c2.
2. Cas généra/ - Lintariscr le système
f(x, Y) = 0
g(x, y) = 0.
Par ce procédé nous sommes ramcni: au problème préc6dent. il suffit de remplacer les
coefficients nl,~. 01: 02 et RI, Rz par les nouvcllcs valeurs fournies par la linéarisation : donrrer
les expressions de a1 , ~2, bl, hz ct RI, Rz en fonction de f(z, y), g(z; I/) et de leurs dbrivks
partielles.
Donner alors les expressions de xk, & en fonction de xh-1; 1~k-1 puis SQ 1. ?/k-+l en fonction
de xk, IJ~.
Donner les expressions des diffkrents coefficients calculés sur l’exrmplc suivant :
f(x, y) = x2 + 4y2 - 36 = 0
g(s, y) = x2 + y2 - 12~ + 27 = 0
5. Éléments de calcul matriciel
5.1. Résolution d’un système linéaire
Soit 1111 système dc n équations & n > inconnues. Rkaliser un programrne permct,tant la rtsolution
de ce système linéaire par la méthode des pivots, puis le transformer en sous-programme.
Dans le cas où la matrice est mal conditionnée ou encore lorsque son déterminant est voisin
de zPro, on rencontre des difficultés pour obtenir un résultat raisonnable. Voici une m@thode
perrnettant éventuellernent dc se tirer d’affaire.
On peut soupçonner dc tels problèmes quand la permutation dc lignes du système linéaire
fournit des résultats difErents les uns des autres et que les troncaturrs des nombres ne peuvent
pas directement expliquer.
a - On calcule une première valeur j& déterminant par le produit des pivots. Pour obtenir
une erreur minimum à chaque ktape du calcul il faut amener 11011 pas le pivot lc plus grand
(car cela conduit1 à amener en fin de calcul les pivots les plus pctit,s qui seront enta&.% d’une
importante erreur puisque le produit des pivots est une constante.. .) mais le pivot dont le module
est lc plus proche de z/la,l ce y ui conduit à une erreur rninirnum sur l’enscmblc des calculs.
b - On calcule une seconde valeur A, du déterminant cn amenant chaque fois le pivot dont
le module est le plus proche de m. 0 n rCpèt,e l’opération jusqu’A cc que l’on obtienne des
valeurs stables & et de m.
c - On invcrsc la matrice (ou l’on rkout le syst@me linéaire) en amenant chaque fois le pivot
dont le module est le plus proche de m.
d - Rkaliser 1111 tel prograrnme.
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