MANUEL
DE
CALCUL
NTJMÉRIQUEAPPLIQUÉ
donner l’cxprcssion de e,+r en fonction de e, j de f(z) ainsi que des dérivées de p(z). En déduire
que e,,,+r est un polynôme (ou scric enticre) cri eTL que l’on écrit :
e
2
Y
n+l = ae,, + De,, + 7eT7 + t
On cxplicitcra les coefficients C L , p et y en fonction des dérivées de p(z).
Dans l’hypothèse où l’application est contractante lim,+, e, = 0. cependant, en calcul
numCriquc,
on cesse les itérations à l’ordre N (N tours d’itération) et, l’erreur eN est finie. Par
définition. on dira C~LIC l’on a affaire à un processus itératif du premier ordre si cy # 0 et à urr
processus du deuxième ordre si cr = 0 et / 3 # 0 et ainsi dc suite. On comprend que la convergence
sera d’autant plus rapide que le processus iteratif contractant sera diordrc plus élevé.
1. Application à la méthode de Newton - On cherche la racine X de l’équation a(z) = 0
dans le domaine a où l’on suppose que la méthode de Newton est convergente.
a - Rappeler rapidement la rnéthode de Newton, puis exprimer ,f(z) en fonction de a(z): et
calculer enfin les cocfficicnts Q et / ? en fonction de CI>(z) et de ses derivées.
b - À quelle Condit)ion l’application est-elle contractante?
2. - Associée à l’équation a(z) = 0, on considère à présent la formule d’itcration suivante :
f(x) = x ~
s(x)@(x)
g(x)a?‘(x) + h(x)@(x) ’
où h(x) et g(x) sont des fonctions arbitraires dont on exige seulement la continuité et la
dérivabilite à urr ordre suffisant.
Ici encore on suppose que a(z) a une racine unique dans le domaine a, domaine où
l’application est contractante. Calculer les coefficients o et /3.
Quelle est la condition qui permet d’annuler le coeflicient ,8? Quel sera alors l’ordre du
processus?
4.9. Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues. Méthode de Kacmarz (1937)
Soit :
f(x, Y) = 0
S(X,Y) = 0
un système de deux équations à deux inconmrcs. On suppose que les deux fonctions sont,
contimres
ct dérivables (à l’ordre nécessaire) et que dans un dornainc D ce système admet
une solution unique (X, Y).
1. Cas où le système est linéaire - On écrit alors :
arz + bry + cr = 0 (droite Or)
aaz + b2y + cz = 0 (droite Dz).
Partant d’une approximation Ao(zo, y”) appart,enant au domaine a, on projette perpendiculairernent ce point sur la droite Dr, on obtient alors lc point Al dc coordonnées (51, yr). Ensuite
on projette le point Al sur la droite Dz ce qui nous donnera le point AZ de coordonnées (22, ya).
On poursuit la génération des points Ak jusqu’à ce que l’on ait obtcmr la prccision souhaitée.
DE
CALCUL
NTJMÉRIQUEAPPLIQUÉ
donner l’cxprcssion de e,+r en fonction de e, j de f(z) ainsi que des dérivées de p(z). En déduire
que e,,,+r est un polynôme (ou scric enticre) cri eTL que l’on écrit :
e
2
Y
n+l = ae,, + De,, + 7eT7 + t
On cxplicitcra les coefficients C L , p et y en fonction des dérivées de p(z).
Dans l’hypothèse où l’application est contractante lim,+, e, = 0. cependant, en calcul
numCriquc,
on cesse les itérations à l’ordre N (N tours d’itération) et, l’erreur eN est finie. Par
définition. on dira C~LIC l’on a affaire à un processus itératif du premier ordre si cy # 0 et à urr
processus du deuxième ordre si cr = 0 et / 3 # 0 et ainsi dc suite. On comprend que la convergence
sera d’autant plus rapide que le processus iteratif contractant sera diordrc plus élevé.
1. Application à la méthode de Newton - On cherche la racine X de l’équation a(z) = 0
dans le domaine a où l’on suppose que la méthode de Newton est convergente.
a - Rappeler rapidement la rnéthode de Newton, puis exprimer ,f(z) en fonction de a(z): et
calculer enfin les cocfficicnts Q et / ? en fonction de CI>(z) et de ses derivées.
b - À quelle Condit)ion l’application est-elle contractante?
2. - Associée à l’équation a(z) = 0, on considère à présent la formule d’itcration suivante :
f(x) = x ~
s(x)@(x)
g(x)a?‘(x) + h(x)@(x) ’
où h(x) et g(x) sont des fonctions arbitraires dont on exige seulement la continuité et la
dérivabilite à urr ordre suffisant.
Ici encore on suppose que a(z) a une racine unique dans le domaine a, domaine où
l’application est contractante. Calculer les coefficients o et /3.
Quelle est la condition qui permet d’annuler le coeflicient ,8? Quel sera alors l’ordre du
processus?
4.9. Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues. Méthode de Kacmarz (1937)
Soit :
f(x, Y) = 0
S(X,Y) = 0
un système de deux équations à deux inconmrcs. On suppose que les deux fonctions sont,
contimres
ct dérivables (à l’ordre nécessaire) et que dans un dornainc D ce système admet
une solution unique (X, Y).
1. Cas où le système est linéaire - On écrit alors :
arz + bry + cr = 0 (droite Or)
aaz + b2y + cz = 0 (droite Dz).
Partant d’une approximation Ao(zo, y”) appart,enant au domaine a, on projette perpendiculairernent ce point sur la droite Dr, on obtient alors lc point Al dc coordonnées (51, yr). Ensuite
on projette le point Al sur la droite Dz ce qui nous donnera le point AZ de coordonnées (22, ya).
On poursuit la génération des points Ak jusqu’à ce que l’on ait obtcmr la prccision souhaitée.