ANNEXE H. P ROBLÈMES ET EXERCICES
4.7. Résolution d’un système non linéaire
On considère un système non linéaire de deux équations à deux inconnues :
f(GY) = 0
dX,Y) = 0
On suppose qu’il existe un domaine A à l’intérieur duquel le système admet une solution et
une seule ; en outre, on suppose que les fonctions possèdent des dérivées par rapport, à x et à y
,jusqu’à l’ordre n inclus, et que les fonctions et leurs dérivées sont continues dans A par rapport
à x et à y.
On se propose de calculer la solution (X, Y) en minimisant la forme quadratique suivante :
@(x, Y) = Pc? Y) + 9%> Y).
a - Montrer que ce second problème est équivalent au premier.
b - On choisit comme première approximation de (X, Y) un point A&(2”, yy0) appartenant à
A. Dans un premier temps on considère que yo ne change pas et l’on se propose de chercher une
meilleure approximation seulement de 20 appelée 21 telle que :
x1 = x0 + <.
Écrire le développement de Q2(xo + <, yo) au deuxième ordre en < au voisinage de 50 ; puis
calculer z pour que Q2(x, y) soit minimum.
c - Maintenant, on maintient x1 constant et l’on va calculer par le même procédé une meilleure
approximation de yo appelée y1 telle que :
Y1 = Y0 + 77.
Donner la valeur de 7.
d - Comme les développements successifs sont limités au deuxième ordre, les valeurs de < et
de q ne sont que des approximations. Proposer un algorithme qui permet d’atteindre X et Y.
Comment vérifier que les valeurs calculées sont bien une solution du système proposé?
4.8. Ordre d’un processus itératif
Soit f(x) une application de R sur R continue et indkfiniment dérivable. À partir d’une valeur
x0 on génère une suite X~+I = f(5k).
Si dans le domaine D l’application est contractante, après un nombre fini d’itérations on
obtiendra la relation X = f(X) à a
1 p récision de la machine utilisée.
Soit Q(z) = 0 une fonction dont on désire calculer la racine unique X localisée dans le domaine
A. Montrer que les recherches de la racine par approximations successives et par la méthode de
Newton obéissent au schéma fonctionnel que nous avons défini.
La recherche d’une racine X de l’équation Q(x) = 0 dans le domaine A consiste à associer à
cette équation une autre équation équivalente z = f(x) où f(x) est une application contractante
dans a de telle sorte que l’on ait X = f(X). On appelle ek l’erreur après la k” itération et l’on
pose :
4.7. Résolution d’un système non linéaire
On considère un système non linéaire de deux équations à deux inconnues :
f(GY) = 0
dX,Y) = 0
On suppose qu’il existe un domaine A à l’intérieur duquel le système admet une solution et
une seule ; en outre, on suppose que les fonctions possèdent des dérivées par rapport, à x et à y
,jusqu’à l’ordre n inclus, et que les fonctions et leurs dérivées sont continues dans A par rapport
à x et à y.
On se propose de calculer la solution (X, Y) en minimisant la forme quadratique suivante :
@(x, Y) = Pc? Y) + 9%> Y).
a - Montrer que ce second problème est équivalent au premier.
b - On choisit comme première approximation de (X, Y) un point A&(2”, yy0) appartenant à
A. Dans un premier temps on considère que yo ne change pas et l’on se propose de chercher une
meilleure approximation seulement de 20 appelée 21 telle que :
x1 = x0 + <.
Écrire le développement de Q2(xo + <, yo) au deuxième ordre en < au voisinage de 50 ; puis
calculer z pour que Q2(x, y) soit minimum.
c - Maintenant, on maintient x1 constant et l’on va calculer par le même procédé une meilleure
approximation de yo appelée y1 telle que :
Y1 = Y0 + 77.
Donner la valeur de 7.
d - Comme les développements successifs sont limités au deuxième ordre, les valeurs de < et
de q ne sont que des approximations. Proposer un algorithme qui permet d’atteindre X et Y.
Comment vérifier que les valeurs calculées sont bien une solution du système proposé?
4.8. Ordre d’un processus itératif
Soit f(x) une application de R sur R continue et indkfiniment dérivable. À partir d’une valeur
x0 on génère une suite X~+I = f(5k).
Si dans le domaine D l’application est contractante, après un nombre fini d’itérations on
obtiendra la relation X = f(X) à a
1 p récision de la machine utilisée.
Soit Q(z) = 0 une fonction dont on désire calculer la racine unique X localisée dans le domaine
A. Montrer que les recherches de la racine par approximations successives et par la méthode de
Newton obéissent au schéma fonctionnel que nous avons défini.
La recherche d’une racine X de l’équation Q(x) = 0 dans le domaine A consiste à associer à
cette équation une autre équation équivalente z = f(x) où f(x) est une application contractante
dans a de telle sorte que l’on ait X = f(X). On appelle ek l’erreur après la k” itération et l’on
pose :