MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
f - Donner l’algorithme permettant de calculer la racine appartenant au domaine A. En
supposant que toutes les racines aient été localisées chacune dans un domaine A,, proposer
une méthode générale permettant de calculer toutes les racines complexes du polynôme P,(z)
à coefficients complexes.
4.6. Résolution d’un système non linéaire
On se propose de résoudre numériquement un système non linéaire de n équations à n inconnues
qui se note :
Fq(x1,x2,xg ,..., x,) =0 avec q= 1,2,3 ,..., n.
a - Montrer que l’on peut toujours écrire ce système sous la forme :
x~=~~(x~,x~,x~ ,..., x,) avec p=l,2,3 ,..., n.
b - Partant de valeurs approchées xp,x~),...,x;) >
de la racine recherchée, on forme les
suites récurrentes :
xu4 = a,
P
(
xy-l), xy,, . , x(lc-l)
>
avec p = 1,2, . , 12.
On se propose d’étudier la convergence d’un tel processus itératif sur l’ensemble des valeurs
zr”). Pour cela on désigne par ZI$ la solution exacte du système, et l’on note par & l’écart
entre la solution et sa valeur approchée au k” tour :
x* =xJk:)+&.
3
Après avoir développé la fonction @p en série de Taylor au p;;Imier ordre au voisinage de la
valeur obtenue au k” tour d’itération, donner l’expression de xp en fonction de Q>p et de ses
dérivées partielles.
c - L’erreur après la k” itération est définie au moyen de l’expression :
(k) = xt _ x(k)
ej
3
3
Donner l’expression de & au k” tour d’itération, puis, donner l’expression de ep+‘) en fonction
des ey’.
On peut remarquer que les quantités ey+‘) sont les composantes d’un vecteur E(“+‘), alors
montrer que E(“+l) peut s’écrire sous forme matricielle :
On explicitera la matrice M.
d - Soit E(“) le vecteur des erreurs sur les valeurs initiales. Donner l’expression de E(“+l) en
fonction de E(O).
Quelle condition doit remplir la matrice M pour que le processus soit convergent ? (Application
contractante).
e - Dans le cas où la convergence est assurée, proposer une amélioration qui exploite mieux les
résultats des calculs et qui, par conséquent, augmente la vitesse de convergence de la méthode.
450
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
f - Donner l’algorithme permettant de calculer la racine appartenant au domaine A. En
supposant que toutes les racines aient été localisées chacune dans un domaine A,, proposer
une méthode générale permettant de calculer toutes les racines complexes du polynôme P,(z)
à coefficients complexes.
4.6. Résolution d’un système non linéaire
On se propose de résoudre numériquement un système non linéaire de n équations à n inconnues
qui se note :
Fq(x1,x2,xg ,..., x,) =0 avec q= 1,2,3 ,..., n.
a - Montrer que l’on peut toujours écrire ce système sous la forme :
x~=~~(x~,x~,x~ ,..., x,) avec p=l,2,3 ,..., n.
b - Partant de valeurs approchées xp,x~),...,x;) >
de la racine recherchée, on forme les
suites récurrentes :
xu4 = a,
P
(
xy-l), xy,, . , x(lc-l)
>
avec p = 1,2, . , 12.
On se propose d’étudier la convergence d’un tel processus itératif sur l’ensemble des valeurs
zr”). Pour cela on désigne par ZI$ la solution exacte du système, et l’on note par & l’écart
entre la solution et sa valeur approchée au k” tour :
x* =xJk:)+&.
3
Après avoir développé la fonction @p en série de Taylor au p;;Imier ordre au voisinage de la
valeur obtenue au k” tour d’itération, donner l’expression de xp en fonction de Q>p et de ses
dérivées partielles.
c - L’erreur après la k” itération est définie au moyen de l’expression :
(k) = xt _ x(k)
ej
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Donner l’expression de & au k” tour d’itération, puis, donner l’expression de ep+‘) en fonction
des ey’.
On peut remarquer que les quantités ey+‘) sont les composantes d’un vecteur E(“+‘), alors
montrer que E(“+l) peut s’écrire sous forme matricielle :
On explicitera la matrice M.
d - Soit E(“) le vecteur des erreurs sur les valeurs initiales. Donner l’expression de E(“+l) en
fonction de E(O).
Quelle condition doit remplir la matrice M pour que le processus soit convergent ? (Application
contractante).
e - Dans le cas où la convergence est assurée, proposer une amélioration qui exploite mieux les
résultats des calculs et qui, par conséquent, augmente la vitesse de convergence de la méthode.
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