A NNEXE
H. P ROBLÈ MES ET EXERCICES
a - Donner l’expression formelle de x1 en fonction de ~0; de la fonction f et évcntucllement de
ses dérivées. Proposer un processus it,ératif du type :
on donnera explicitement G(z).
b - On dksigne par e, l’écart à la solution X après le 7~~ tour d’it,&ation : e,, = X - z,,.
Montrer qu’au premier ordre on peut écrire : e,,,+l = ke,,. On cxplicitcra k en fonction dc @
ct de ses dérivées (ou dc f ct de ses dérivées).
Donner les conditions pour que la suite des approximations soit tolljours convergente vers X.
c - En s’aidant dc quelques figures simples, retrouver les conditions sur f (ou ses dérivées)
pour que l’approximation 21 soit effectivement meilleure que ~0. Représcntcr au moins 1111 cas
pour lequel la mkthode ne converge pas vers X.
d - Comparer cette mkthodc à celle de Newton, c’est-à-dire que l’on donnera les avantages et
les inconvénients que ces deux rnéthodes prksrntent comparks l’une à l’autre.
4.5. Racines d’un polynôme à coefficients complexes
On considk un polynôme de la variable complexe à coefficients complexes :
P,(z) = (w,+jPo)~7z + ((11 +jP,)z 'L-1 + ((12 + j/32)P2 + . '. + (a,, + j&)
avc(' 00 + j/3(, # 0.
On dksire obtenir une racine complexe de ce polynôme que l’on a localiske dans le domaine
complexe A. Pour ce faire, on divise PTL(z) par lc monôme Dl(z) = z ~ (p + ja).
a - Montrer que le quotient, nott: Qn-i(~): est 1111 polynôme de dcgrk T L ~ 1 et le reste est une
constante complexe notCc R = @ + jS. On écrit le polynôme Qnpl (z) sous la forme :
Qer(z) = (yo + jS0)2-~ + (71 + jS1)zTLp2 + (yz +js#-c3 + '.. + (Yn-l +jL,)
b - Expliciter les coefficients yk et 6~. en fournissant les relations de rkurrcnce auxquelles ils
obéissent. On précisera convenablement le début ct la fin des relations de récurrence. Donner
les expressions de < I > et de q. Montrer que, pour que (p + ja) soit UIK racine. il faut ct il sufiit
que les fonctions @ et * soient nulles.
c - @ ct KLJ sont des fonctions implicites des deux variables p ct (T, rappeler la mkthode de
Newton permettant de les annuler simultanément,.8~ $$ra8p rcl;$ons en fonct,ion @ et S’ et
de leurs dkrivées partielles par rapport à p et, (T : dp, da, - et x’
&J
d - Calculer effectivement a@/ap et !T:/Op en dérivant les relations de récurrence des 71, et
d6A.
des Sk par rapport à p puis en posant ~ = tkpl ct ~ = UU~-~. Ici encore; on explicitera bien
&J
&J
le dkbut et la fin des relations de récurrence.
e - Opérer de la même mani@re pour calculer d@/3a ct ??Z~/da. On dkivcra les relations de
3%”
3Sk
rkcurrence des ~k et des Sk par rapport à 0 et l’on posera ~ = vk-1 et ~ = 1~k-1.
da
aa
449
H. P ROBLÈ MES ET EXERCICES
a - Donner l’expression formelle de x1 en fonction de ~0; de la fonction f et évcntucllement de
ses dérivées. Proposer un processus it,ératif du type :
on donnera explicitement G(z).
b - On dksigne par e, l’écart à la solution X après le 7~~ tour d’it,&ation : e,, = X - z,,.
Montrer qu’au premier ordre on peut écrire : e,,,+l = ke,,. On cxplicitcra k en fonction dc @
ct de ses dérivées (ou dc f ct de ses dérivées).
Donner les conditions pour que la suite des approximations soit tolljours convergente vers X.
c - En s’aidant dc quelques figures simples, retrouver les conditions sur f (ou ses dérivées)
pour que l’approximation 21 soit effectivement meilleure que ~0. Représcntcr au moins 1111 cas
pour lequel la mkthode ne converge pas vers X.
d - Comparer cette mkthodc à celle de Newton, c’est-à-dire que l’on donnera les avantages et
les inconvénients que ces deux rnéthodes prksrntent comparks l’une à l’autre.
4.5. Racines d’un polynôme à coefficients complexes
On considk un polynôme de la variable complexe à coefficients complexes :
P,(z) = (w,+jPo)~7z + ((11 +jP,)z 'L-1 + ((12 + j/32)P2 + . '. + (a,, + j&)
avc(' 00 + j/3(, # 0.
On dksire obtenir une racine complexe de ce polynôme que l’on a localiske dans le domaine
complexe A. Pour ce faire, on divise PTL(z) par lc monôme Dl(z) = z ~ (p + ja).
a - Montrer que le quotient, nott: Qn-i(~): est 1111 polynôme de dcgrk T L ~ 1 et le reste est une
constante complexe notCc R = @ + jS. On écrit le polynôme Qnpl (z) sous la forme :
Qer(z) = (yo + jS0)2-~ + (71 + jS1)zTLp2 + (yz +js#-c3 + '.. + (Yn-l +jL,)
b - Expliciter les coefficients yk et 6~. en fournissant les relations de rkurrcnce auxquelles ils
obéissent. On précisera convenablement le début ct la fin des relations de récurrence. Donner
les expressions de < I > et de q. Montrer que, pour que (p + ja) soit UIK racine. il faut ct il sufiit
que les fonctions @ et * soient nulles.
c - @ ct KLJ sont des fonctions implicites des deux variables p ct (T, rappeler la mkthode de
Newton permettant de les annuler simultanément,.8~ $$ra8p rcl;$ons en fonct,ion @ et S’ et
de leurs dkrivées partielles par rapport à p et, (T : dp, da, - et x’
&J
d - Calculer effectivement a@/ap et !T:/Op en dérivant les relations de récurrence des 71, et
d6A.
des Sk par rapport à p puis en posant ~ = tkpl ct ~ = UU~-~. Ici encore; on explicitera bien
&J
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le dkbut et la fin des relations de récurrence.
e - Opérer de la même mani@re pour calculer d@/3a ct ??Z~/da. On dkivcra les relations de
3%”
3Sk
rkcurrence des ~k et des Sk par rapport à 0 et l’on posera ~ = vk-1 et ~ = 1~k-1.
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