MANUEL DE CALCIJL
NTJMERIQLJE
APPLIQUÉ
4.2. Méthode de Bairstow
Dans le cas particulier des polynômes, plutôt que de faire usage des mkthodcs du genre de celles
prograrnmées au paragraphe 1, on préfère utiliser des programmes
spécifiques dont, la méthode
de Bairstow est un exemple typique. Programmation de la méthode de Bairstow.
Applications - Rechercher les racines du polynôme de Lcgcndrc d’ordre TL que l’on note P,, (x).
Les polynômes sont donnk par les relations de récurrence :
PC)(X) = 1
PI(X) = z
(TL + l)P,,,l(Z) - (2n + l)xP,,(x) + 7LPILp,(2) = 0.
À partir de quel ordre n commence-t-on à avoir de sérieux ennuis de calculs avec une machine
dont les nombres ont une prkision relative de 1O-“?
N.B. - Les xCros des polynôrncs de Legendrr jouent ur1 rôle fondamrnt,al dans la méthode
d’intégration numérique dc Gauss-Legendre.
M&e problème pour les polynôrnes de Laguerre et les polynômes d’Hermite qui sont donnés
respectivcmcnt par les relations de récurrence suivantes :
Il”(.%) = 1
L,(x) = 1 -z
4.3. Calcul de la fonction arctan
Connaissant la fonction tangente, n = tan(z): on se propose de calculer n: = arctan( Montrer
que l’on a l’identitk :
puis en dkluire que :
I I ” = arctan - arctan[tan(rc”)] + x0.
1c = zo + arctan
(
a - tari
1 + a tan(z,,) >
= 20 + arctari[F(.z~,)]
Donner lc développement de 2 en fonction de X = F(zo). À qucllc condition la skric converget-elle?
Calculer la valeur approchée de arctan &
(
>
en choisissant comme premik approximation
50 = 0,8 et cn se limitant à l’ordre 3. Quelle est la précision obtenue sur ce résultat?
4.4. Racine d’une équation f(x) = 0
On considère une fonction f(z) continue dans un domaine A. À l’intérieur dc cc domaine A.
f(z) admet une seule racine X telle que f(X) = 0. On connaît lmc première approximation
dc X que l’on note 20. On se propose d’obtenir une meilleure approxirnation x1 dc la manière
suivante :
En Ao de coordonnées [zo, .f(zo)], on trace la tangcntc à la courbe y = f(z): puis on effectue
une projection orthogonale du point Bu de coordonnks (x0, 0) sur cette tangente. On désigne
par CU cette projection dont les coordonnées sont (21, ~1).
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APPLIQUÉ
4.2. Méthode de Bairstow
Dans le cas particulier des polynômes, plutôt que de faire usage des mkthodcs du genre de celles
prograrnmées au paragraphe 1, on préfère utiliser des programmes
spécifiques dont, la méthode
de Bairstow est un exemple typique. Programmation de la méthode de Bairstow.
Applications - Rechercher les racines du polynôme de Lcgcndrc d’ordre TL que l’on note P,, (x).
Les polynômes sont donnk par les relations de récurrence :
PC)(X) = 1
PI(X) = z
(TL + l)P,,,l(Z) - (2n + l)xP,,(x) + 7LPILp,(2) = 0.
À partir de quel ordre n commence-t-on à avoir de sérieux ennuis de calculs avec une machine
dont les nombres ont une prkision relative de 1O-“?
N.B. - Les xCros des polynôrncs de Legendrr jouent ur1 rôle fondamrnt,al dans la méthode
d’intégration numérique dc Gauss-Legendre.
M&e problème pour les polynôrnes de Laguerre et les polynômes d’Hermite qui sont donnés
respectivcmcnt par les relations de récurrence suivantes :
Il”(.%) = 1
L,(x) = 1 -z
4.3. Calcul de la fonction arctan
Connaissant la fonction tangente, n = tan(z): on se propose de calculer n: = arctan( Montrer
que l’on a l’identitk :
puis en dkluire que :
I I ” = arctan - arctan[tan(rc”)] + x0.
1c = zo + arctan
(
a - tari
1 + a tan(z,,) >
= 20 + arctari[F(.z~,)]
Donner lc développement de 2 en fonction de X = F(zo). À qucllc condition la skric converget-elle?
Calculer la valeur approchée de arctan &
(
>
en choisissant comme premik approximation
50 = 0,8 et cn se limitant à l’ordre 3. Quelle est la précision obtenue sur ce résultat?
4.4. Racine d’une équation f(x) = 0
On considère une fonction f(z) continue dans un domaine A. À l’intérieur dc cc domaine A.
f(z) admet une seule racine X telle que f(X) = 0. On connaît lmc première approximation
dc X que l’on note 20. On se propose d’obtenir une meilleure approxirnation x1 dc la manière
suivante :
En Ao de coordonnées [zo, .f(zo)], on trace la tangcntc à la courbe y = f(z): puis on effectue
une projection orthogonale du point Bu de coordonnks (x0, 0) sur cette tangente. On désigne
par CU cette projection dont les coordonnées sont (21, ~1).
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