ANNEXE H. P ROBLÈMES ET
EXERCICES
2.2. L’epsilon-algorithme scalaire
En réaliser la programmation sous forme de sous-programme.
3. Les développements asymptotiques
3.1. Développement asymptotique
a - Soit la fonction : f(z) = St-l exp(z ~ t) dt avec 2 > 0 encore appelée exponentielle
intégrale. En intégrant successivzment par parties montrer que f(z) admet un développement
asymptotique dont on explicitera les coefficients. Montrer que la série est bien divergente
quand n tend vers l’infini. Calculer l’erreur ~~(5) commise lorsque l’on remplace f(z) par
son développement S,(z) et montrer que E,(Z) passe par un minimum qui dépend de n pour
une valeur fixée de 5. Montrer qu’en machine ce minimum est obtenu dans le voisinage de
En(X) = &+1(5) ou G-l(X) E Es. On désigne par N la valeur de n pour laquelle on obtient
ce minimum (N est une fonction de z).
Effectuer un programme qui, pour une valeur quelconque de 2, détermine N puis calcule la
somme si et enfin l’erreur mathématique EN(x).
Appliquer l’epsilon-algorithme scalaire (cf. chapitre 2) aux sommes partielles S,,(z) pour des
valeurs de n quelconques plus petites et plus grandes que N, pour des valeurs quelconques de z
(mêmes voisines de l’unité).
b - On propose la même étude sur les fonctions suivantes :
O(x) = c /exp(-t’) dt
et
cerf(z) = 1 - O(2).
0
On montrera que
1.3.5
1 .
cerf(z)
1 L
3..
5.
-
(2n
3)
= $ { 1 - & + ~ 1. 3 -
22x4
2”26
+ . . + (-1)
2np122np2
+ . 1
4. Résolution des équations numériques
4.1. Racines d’une équation f(x) = 0
a - Réaliser un programme qui donne les racines d’une équation f(z) = 0 par dichotomie.
Compte tenu de la précision relative de la machine utilisée qui est de 10-“, donner le nombre
de tours de dichotomie suffisant pour obtenir la meilleure précision sur la racine. On aura soin
d’injecter la valeur de la racine trouvée dans l’équation f(x) = O...
b - Réaliser un programme qui calcule les racines selon la méthode itérative du premier ordre.
c - Réaliser un programme qui calcule les racines selon la méthode de Newton (méthode
itérative du deuxième ordre).
d - Application - (Équa ion rencontrée lors de l’étude du corps noir)
t’
Chercher la racine non nulle de l’équation transcendante :
y++exp(-y)-5=0.
Comparer les différentes méthodes, estimer la précision obtenue sur chacune des valeurs.
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EXERCICES
2.2. L’epsilon-algorithme scalaire
En réaliser la programmation sous forme de sous-programme.
3. Les développements asymptotiques
3.1. Développement asymptotique
a - Soit la fonction : f(z) = St-l exp(z ~ t) dt avec 2 > 0 encore appelée exponentielle
intégrale. En intégrant successivzment par parties montrer que f(z) admet un développement
asymptotique dont on explicitera les coefficients. Montrer que la série est bien divergente
quand n tend vers l’infini. Calculer l’erreur ~~(5) commise lorsque l’on remplace f(z) par
son développement S,(z) et montrer que E,(Z) passe par un minimum qui dépend de n pour
une valeur fixée de 5. Montrer qu’en machine ce minimum est obtenu dans le voisinage de
En(X) = &+1(5) ou G-l(X) E Es. On désigne par N la valeur de n pour laquelle on obtient
ce minimum (N est une fonction de z).
Effectuer un programme qui, pour une valeur quelconque de 2, détermine N puis calcule la
somme si et enfin l’erreur mathématique EN(x).
Appliquer l’epsilon-algorithme scalaire (cf. chapitre 2) aux sommes partielles S,,(z) pour des
valeurs de n quelconques plus petites et plus grandes que N, pour des valeurs quelconques de z
(mêmes voisines de l’unité).
b - On propose la même étude sur les fonctions suivantes :
O(x) = c /exp(-t’) dt
et
cerf(z) = 1 - O(2).
0
On montrera que
1.3.5
1 .
cerf(z)
1 L
3..
5.
-
(2n
3)
= $ { 1 - & + ~ 1. 3 -
22x4
2”26
+ . . + (-1)
2np122np2
+ . 1
4. Résolution des équations numériques
4.1. Racines d’une équation f(x) = 0
a - Réaliser un programme qui donne les racines d’une équation f(z) = 0 par dichotomie.
Compte tenu de la précision relative de la machine utilisée qui est de 10-“, donner le nombre
de tours de dichotomie suffisant pour obtenir la meilleure précision sur la racine. On aura soin
d’injecter la valeur de la racine trouvée dans l’équation f(x) = O...
b - Réaliser un programme qui calcule les racines selon la méthode itérative du premier ordre.
c - Réaliser un programme qui calcule les racines selon la méthode de Newton (méthode
itérative du deuxième ordre).
d - Application - (Équa ion rencontrée lors de l’étude du corps noir)
t’
Chercher la racine non nulle de l’équation transcendante :
y++exp(-y)-5=0.
Comparer les différentes méthodes, estimer la précision obtenue sur chacune des valeurs.
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