MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.7. Recherche d’une tangente commune à deux courbes
On considère deux fonctions y = f(z) et y = g(z). À l’intérieur d’un domaine D du plan
réel (02, Oy) elles admettent chacune, hormis les valeurs prises à la frontière du domaine, un
extremum et un seul qui est un minimum. On suppose que, dans D, les fonctions f(z) et g(z) sont
continues, dérivables au moins deux fois et qu’elles ne possèdent pas de points d’inflexion. Dans
la suite, on s’intéressera aux courbes représentatives, Ci pour y = f(z) et Cz pour y = g(z), qui
admettent une tangente commune dans D. On se propose de déterminer numériquement cette
tangente commune.
a - Soit (~0, yo) un point A du plan par lequel il est possible de tracer une tangente quelconque
à chacune des courbes Ci et CL. Écrire les coordonnées du point (zf, yf) tangent à y = f(z)!
puis les coordonnées du point (zg, ys) tangent à y = g(z), la tangente étant issue de A. Indiquer
une méthode de calcul numérique de ces coordonnées.
b - S’il est possible de tracer, à partir de A, une tangente à une courbe alors il est possible, en
général, d’en tracer une seconde. Laquelle conviendra-t-il de retenir pour la solution qui nous
intéresse?
c - Pour l’instant, il n’y a aucune raison pour que ces deux tangentes constituent une
tangente commune, et nous allons déplacer le point A sur la droite z = ~0 pour obtenir cette
tangente commune. Donner un algorithme qui permette d’obtenir numériquement cette tangente
commune. Comment devra-t-on choisir ~0 pour obtenir la précision optimum?
d - Les courbes représentatives Ci et (2’2 ne sont plus données par des fonctions explicites mais
par des fonctions implicites qui s’écrivent :
@(CE, y) = 0
et
qq y) = 0.
Ici encore, on suppose que les fonctions ont les bonnes propriétés usuelles de régularité
(continuité et dérivabilité à l’ordre deux, pas de points d’inflexion dans D). Donner une procédure
qui permette de calculer numériquement les coordonnées (zg, yg) et (zf, yf) des points tangents
aux courbes, les deux tangentes étant issues de A. Puis, proposer une procédure pour obtenir
numériquement la tangente commune aux deux courbes.
2. Algorithmes accélérateurs de la convergence des suites
2.1. L’epsilon-algorithme scalaire
a - En réaliser la programmation sous forme de sous-programme. Application à une suite
lentement convergente :
7- r
- 11~ ; + ; - ; +. . + (-I>n&
4
+...
6 - Appliquer l’epsilon-algorithme au calcul de
y=lim l+~+~+...+&logJm)
(
1
À quel ordre m obtient-on le meilleur résultat avec une machine donnée?
446
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.7. Recherche d’une tangente commune à deux courbes
On considère deux fonctions y = f(z) et y = g(z). À l’intérieur d’un domaine D du plan
réel (02, Oy) elles admettent chacune, hormis les valeurs prises à la frontière du domaine, un
extremum et un seul qui est un minimum. On suppose que, dans D, les fonctions f(z) et g(z) sont
continues, dérivables au moins deux fois et qu’elles ne possèdent pas de points d’inflexion. Dans
la suite, on s’intéressera aux courbes représentatives, Ci pour y = f(z) et Cz pour y = g(z), qui
admettent une tangente commune dans D. On se propose de déterminer numériquement cette
tangente commune.
a - Soit (~0, yo) un point A du plan par lequel il est possible de tracer une tangente quelconque
à chacune des courbes Ci et CL. Écrire les coordonnées du point (zf, yf) tangent à y = f(z)!
puis les coordonnées du point (zg, ys) tangent à y = g(z), la tangente étant issue de A. Indiquer
une méthode de calcul numérique de ces coordonnées.
b - S’il est possible de tracer, à partir de A, une tangente à une courbe alors il est possible, en
général, d’en tracer une seconde. Laquelle conviendra-t-il de retenir pour la solution qui nous
intéresse?
c - Pour l’instant, il n’y a aucune raison pour que ces deux tangentes constituent une
tangente commune, et nous allons déplacer le point A sur la droite z = ~0 pour obtenir cette
tangente commune. Donner un algorithme qui permette d’obtenir numériquement cette tangente
commune. Comment devra-t-on choisir ~0 pour obtenir la précision optimum?
d - Les courbes représentatives Ci et (2’2 ne sont plus données par des fonctions explicites mais
par des fonctions implicites qui s’écrivent :
@(CE, y) = 0
et
qq y) = 0.
Ici encore, on suppose que les fonctions ont les bonnes propriétés usuelles de régularité
(continuité et dérivabilité à l’ordre deux, pas de points d’inflexion dans D). Donner une procédure
qui permette de calculer numériquement les coordonnées (zg, yg) et (zf, yf) des points tangents
aux courbes, les deux tangentes étant issues de A. Puis, proposer une procédure pour obtenir
numériquement la tangente commune aux deux courbes.
2. Algorithmes accélérateurs de la convergence des suites
2.1. L’epsilon-algorithme scalaire
a - En réaliser la programmation sous forme de sous-programme. Application à une suite
lentement convergente :
7- r
- 11~ ; + ; - ; +. . + (-I>n&
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+...
6 - Appliquer l’epsilon-algorithme au calcul de
y=lim l+~+~+...+&logJm)
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À quel ordre m obtient-on le meilleur résultat avec une machine donnée?
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