ANNEXE
H.
P ROBLÈ MES
ETEXERCICES
1.5. Calcul numérique des dérivées d’un polynôme à coefficients réels pour la valeur x = r
On considère un polynôme Pr,(x) à, coefficients rCcls que l’on écrit :
P,!,(X) 2 cLkXk
avec n ( J # 0
a - Rappeler comment calculer effectivement la valeur numérique du polynôme P,L(x) pour la
valeur pl i = ‘ r au moyen du schéma de Horner. On écrira les ktapes du calcul au moyen d’une
relation dc rkurrencc que l’on explickera donnant une suite que l’on appcllcra ~k pa.r exemple.
b - On divise le polynôme P,,(z) par (x ~ sr), et l’on kcrit :
Pr<(x) = (CE~~)P~-,(X)+ R,,.
CH.11
On poursuit la division des polynômes P+,(cc) par (X - sr). Écrire la relation de récurrcncc
qui donne le polynôme P7,-,(x), et, montrer que : PI(x) = (x - r)Po(x) + RI, par la suite on
posera ~O(X) = Ro pour des raisons de commodité d’écriture et d’homogknéité.
Donner la relation de récurrence qui permet de calculer les coefficients du polynôme &I(X)
en fonction des coefficients du polynôme Pk(x).
c - Réécrire l’cxprcssion (H.l) en éliminant tous les Ph(2) : PT,(x) s’exprime cn fonction de
x>r ct, des Rk.
d - Donner l’expression du développement du polynôme P,, (x) en série dc Taylor au voisinage
de x = T + h en fonction de x7 r’ et des dkrivks dc P,, (z). En déduire la valeur de Rk.
e - Montrer comment calculer effectivement tous les Rk: à l’aide du schkma de Horner.
1.6. Calcul numérique de la fonction c de Riemann
Rappel du théorème de Cauchy - Soit f( )
z une fonction positive et dkroissantc pour 5 > 1:
alors l’intégrale 1 = ,fIw f(x) dz et la sbric f(k) ( où k est un cnticr strictement positif)
convergent ou divergent ensemble.
Soit la fonction de Riemann
a - Associer l’intégrale 1 = T~(X) dx à la fonction C(s) en explicitant p(x), puis donner les
différentes expressions de 1 (obtenues par quadratures simples sous le signe somme) cn fonction
de s. En déduire la condition de convergence de la série: au préalable, on aura représenté sur
un graphique les termes 1, $, $, . ainsi que la fonction associée f(x).
b - On diisigne par Sk(s) la série dc Riemanrl tronquk à l’ordre k :
Sk(S) = 1+ ; + f + ; + ; f. ‘. + ;
En approchant c(s) par Sk(s) on effectue une erreur de troncature strictement rnathématiquc
(indépendante dc la troncature numérique des nombres) :
ek = (k : 1)” + (k : 2)” + (k ; 3)” + ‘.
Au moyen de l’intégrale associée, proposer un encadrement de ek. puis en déduire une nkthode
de calcul de c(s) lorsque celle-ci converge.
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H.
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ETEXERCICES
1.5. Calcul numérique des dérivées d’un polynôme à coefficients réels pour la valeur x = r
On considère un polynôme Pr,(x) à, coefficients rCcls que l’on écrit :
P,!,(X) 2 cLkXk
avec n ( J # 0
a - Rappeler comment calculer effectivement la valeur numérique du polynôme P,L(x) pour la
valeur pl i = ‘ r au moyen du schéma de Horner. On écrira les ktapes du calcul au moyen d’une
relation dc rkurrencc que l’on explickera donnant une suite que l’on appcllcra ~k pa.r exemple.
b - On divise le polynôme P,,(z) par (x ~ sr), et l’on kcrit :
Pr<(x) = (CE~~)P~-,(X)+ R,,.
CH.11
On poursuit la division des polynômes P+,(cc) par (X - sr). Écrire la relation de récurrcncc
qui donne le polynôme P7,-,(x), et, montrer que : PI(x) = (x - r)Po(x) + RI, par la suite on
posera ~O(X) = Ro pour des raisons de commodité d’écriture et d’homogknéité.
Donner la relation de récurrence qui permet de calculer les coefficients du polynôme &I(X)
en fonction des coefficients du polynôme Pk(x).
c - Réécrire l’cxprcssion (H.l) en éliminant tous les Ph(2) : PT,(x) s’exprime cn fonction de
x>r ct, des Rk.
d - Donner l’expression du développement du polynôme P,, (x) en série dc Taylor au voisinage
de x = T + h en fonction de x7 r’ et des dkrivks dc P,, (z). En déduire la valeur de Rk.
e - Montrer comment calculer effectivement tous les Rk: à l’aide du schkma de Horner.
1.6. Calcul numérique de la fonction c de Riemann
Rappel du théorème de Cauchy - Soit f( )
z une fonction positive et dkroissantc pour 5 > 1:
alors l’intégrale 1 = ,fIw f(x) dz et la sbric f(k) ( où k est un cnticr strictement positif)
convergent ou divergent ensemble.
Soit la fonction de Riemann
a - Associer l’intégrale 1 = T~(X) dx à la fonction C(s) en explicitant p(x), puis donner les
différentes expressions de 1 (obtenues par quadratures simples sous le signe somme) cn fonction
de s. En déduire la condition de convergence de la série: au préalable, on aura représenté sur
un graphique les termes 1, $, $, . ainsi que la fonction associée f(x).
b - On diisigne par Sk(s) la série dc Riemanrl tronquk à l’ordre k :
Sk(S) = 1+ ; + f + ; + ; f. ‘. + ;
En approchant c(s) par Sk(s) on effectue une erreur de troncature strictement rnathématiquc
(indépendante dc la troncature numérique des nombres) :
ek = (k : 1)” + (k : 2)” + (k ; 3)” + ‘.
Au moyen de l’intégrale associée, proposer un encadrement de ek. puis en déduire une nkthode
de calcul de c(s) lorsque celle-ci converge.
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