MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.3. Calcul de la fréquence des notes de deux gammes
Calculer les fréquences des notes de la gamme naturelle et de la gamme tempérée dans l’intervalle
compris entre le laa (440 Hz) et le la4 (880 Hz).
1.4. Calcul de la constante d’Euler
La constantc d’Euler que l’on rencontre lors du calcul des fonct,ions de Bessel de deuxieme espèce
est donnée par l’expression :
y = lim
[
1 + i + i + . + W - log,, (m)
1
lorsque m tend vers l’infini.
Réaliser un programme qui calcule y selon cet algorithme. et effectuer UIC estimation dc la
precision obtenue.
Comme la vitesse de convergence est loin d’être satisfaisante, on préfère utiliser une autre
expression pour calculer y :
m-1
=log,,(r+-&1
1
1
Bk
-+-,
12’rrL2
120m4
s + '. . + (-lJkw + . "
h-=1
expression dans laquelle les Bk sont les nornbrcs de Bernoulli (cf. chapitre 12). On donne les
premiers nombres :
Bz = &
B3 = ;
B4 = f
B, = &
691
B6 zz ~
2 730
B7 = ;
3617
B8 = ~
43 867
510
BF] = ~
798
174 611
Blo = ~
854 513
Bll = ~ B12 =
236 364 091
330
138
2730
“.
Les nombres dc Bernoulli sont les coefficients du développernent de :
t
p
exp(t) ~ 1
= 1 - ; + Bl; - B2; + . . + (-1)7L+1Brj- +.
(2n)!
et par ailleurs, ils sont reliés à la fonction C de Riemann laquelle permet d’obtenir les relations
suivantes :
B 71
= 2&,(2n)!
47d+h
avec
55, = 1 + & + & + & + . . + &
Effectuer 1111 programme qui réalise le calcul de y selon cette procedurc.
En machine (précision relative de 10-“), déterminer expérimentalement combien on doit
utiliser de nombres de Bernoulli au minimum pour obtenir la meilleure precision avec la machine
utilisée (une fois m fixe). Ou bien calculer rn sachant que l’on arretc le développement à. l’ordre
j compris, c’est-à-dire après B,f. Pour mener à bien les calculs, on utilisera le fait que l’erreur
sur y est inférieure à deux fois le module du premier terme de la série abandonné (cc G. Valiron,
Théorie des fonctions, Masson, p. 218 et 219).
La convergence est tres rapide, cependant, la serie infinie est-elle convergente?
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