H 1 Problèmes et exercices
L’annexe 1 contient les corrigés de la plupart des exercices énoncés ici.
1. Généralités sur le calcul numérique
1.1. Calcul du nombre d’or
Soit la suite définie par les relations suivantes :
U” = 0
u1=1
.
u,+~=lJ,+u,~l
Cette suite s’appelle suite de Fibonacci (1180?-1250). Montrer que la suite de terme général
k, = Un/U7L-1 tend vers une limite lorsque n tend vers l’infini.
Effectuer un programme permettant de calculer les termes de cette suite k,. Quel critère
retiendra-t-on pour obtenir une approximation de la limite de la suite? Estimer la précision
obtenue sur ce nombre.
On peut calculer directement cette limite k. On montrera que k est la solution positive de
l’équation du second degré : y2 - y - 1 = 0
N.B. - La suite de Fibonacci est utilisée en informatique dans les problèmes de tris externes.
1.2. Tabulation des polynômes de Tchebycheff
Les polynômes de Tchebycheff sont définis de la manière suivante :
T,(z) = cos[narccos(z)]
avec - 1 < 1c 5 +l.
Établir la relation de récurrence suivante entre trois polynômes consécutifs :
et définir les deux premiers polynômes TO et Ti.
Effectuer un programme qui permette de calculer la valeur des polynômes quels que soient le
nombre n appartenant à l’ensemble des entiers positifs et la valeur de l’argument J: à l’intervalle
(-1, +1).
Quelles limitations viennent affecter cet algorithme? On comparera les résultats donnés par
le calcul direct utilisant les fonctions inverses et l’utilisation de la relation de récurrence.
N.B. - Les polynômes de Tchebycheff jouent un rôle essentiel dans le problème de l’optimisation
des approximations de fonctions (chapitre 8).
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L’annexe 1 contient les corrigés de la plupart des exercices énoncés ici.
1. Généralités sur le calcul numérique
1.1. Calcul du nombre d’or
Soit la suite définie par les relations suivantes :
U” = 0
u1=1
.
u,+~=lJ,+u,~l
Cette suite s’appelle suite de Fibonacci (1180?-1250). Montrer que la suite de terme général
k, = Un/U7L-1 tend vers une limite lorsque n tend vers l’infini.
Effectuer un programme permettant de calculer les termes de cette suite k,. Quel critère
retiendra-t-on pour obtenir une approximation de la limite de la suite? Estimer la précision
obtenue sur ce nombre.
On peut calculer directement cette limite k. On montrera que k est la solution positive de
l’équation du second degré : y2 - y - 1 = 0
N.B. - La suite de Fibonacci est utilisée en informatique dans les problèmes de tris externes.
1.2. Tabulation des polynômes de Tchebycheff
Les polynômes de Tchebycheff sont définis de la manière suivante :
T,(z) = cos[narccos(z)]
avec - 1 < 1c 5 +l.
Établir la relation de récurrence suivante entre trois polynômes consécutifs :
et définir les deux premiers polynômes TO et Ti.
Effectuer un programme qui permette de calculer la valeur des polynômes quels que soient le
nombre n appartenant à l’ensemble des entiers positifs et la valeur de l’argument J: à l’intervalle
(-1, +1).
Quelles limitations viennent affecter cet algorithme? On comparera les résultats donnés par
le calcul direct utilisant les fonctions inverses et l’utilisation de la relation de récurrence.
N.B. - Les polynômes de Tchebycheff jouent un rôle essentiel dans le problème de l’optimisation
des approximations de fonctions (chapitre 8).
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