ANNEXE
H.
P ROBLÈMES
ET
EXERCICES
Étude du cas N = 1 - Calculer les points TO et T1, puis les valeurs sk = S(T~) en fonction des
(1,). Exprimer les ni en fonction des sk. Donner alors l’expression de y(Tl) en fonct~ion des C,
et . T, ~.
Application numérique - En conservant le pas h = 0,05; calculer y(l) et y(2) dc l’tquat,ion
diff&enticlle (H.11).
Étude du cas N = 2 - Calculer les points TO; T1 et T2, puis les valeurs sk; = S(T~) (:II fonction
des u,, Inverser ces relations pour obtenir les ‘II en fonction des sJ Donner l’cxpwssion tic y(Tz)
en fonction des C, ct .çj.
3. Généralisation de l’équation (H.13) - 0 ri considere à présent yuc s(t) dépend de :Y(t) ct
l’on Ccrira :
s(t) = s[y(t): t].
L’éyuat,ion (H.13) n’est évidemment plus linéaire, mais on supposera encore que s [y(t); t]
est, une fonction à variations lentes et faibles. Rien du développement, formel préckdemrnent
r&li& n’est, modifié, seul lc calcul de l’int,égralc demandera le calcul explicite tic s[y(t); t], car
les coefficients ak dépendent des valeurs obtenues pour les y(T,).
Écrire explicitement l’expression donnant y(Tl) à partir de la forrnulc obtenue pour N = 1.
Indiquer ur1 procédé pour obtenir effectivement y(Tl) en fonct,ion dc ~(T(I) = y(0).
Cormaissant à présent y(To) et y(Tl), donner la formule exprimant y(!&) A partir de
l’expression obtenue pour N = 2. Puis indiquer un procédé perrnett,ant
dc calculer cffectivemcnt
02).
Décrire urle procédure complète d’intégration de la dernière équation différentielle proposcie.
Application numérique - Soit l’équation : 2 = -501/+ & avec y(0) = 0.2. Calculer ?/(II) et
y(2h) avec h = 0,05.
7.6. Problème de la poursuite
Un jardinier tourne à la vitesse constante dc 6 km/h autour d’un parterre dont la forme est une
ellipse de grand axe 26 = 20 m et de petit axe 2a = 12 rn. Lorsqu’il est en A, son chien est cn B
et court à sa rencontre de telle sorte que le vecteur vitesse du chien passe à chaque instant par
le point où SC trouve le jardinier. Le chien court à la vitesse constante de 20 km/h. Sachant~ que
la distance OB = 30 m ct que le chien a le droit de piétiner le parterre, t,rouver la trajectoire
du chien et représenter la graphiquement (cf. Fig. H. 1, page suivante).
Trouver, au besoin expérimentalement, des conditions initiales de ce problème pour lesquelles
le chien ne rattrape pas le jardinier. Tracer dans ce cas le cycle limitcx de la trajectoire suivie
par lc chien.
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
8.1. L’équation de Laplace, les isothermes d’un réfrigérateur
Nous nous proposons de d&rminer dans le plan les isotherrnes d’un rkfrigérateur à l’équilibre
thermique, c’est-à-dire quand dT/dt = 0, expression dans layuellc T représente la t,cmp+rat,urc:
et t lc temps (cf. Fig. H.2, page suivante).
H.
P ROBLÈMES
ET
EXERCICES
Étude du cas N = 1 - Calculer les points TO et T1, puis les valeurs sk = S(T~) en fonction des
(1,). Exprimer les ni en fonction des sk. Donner alors l’expression de y(Tl) en fonct~ion des C,
et . T, ~.
Application numérique - En conservant le pas h = 0,05; calculer y(l) et y(2) dc l’tquat,ion
diff&enticlle (H.11).
Étude du cas N = 2 - Calculer les points TO; T1 et T2, puis les valeurs sk; = S(T~) (:II fonction
des u,, Inverser ces relations pour obtenir les ‘II en fonction des sJ Donner l’cxpwssion tic y(Tz)
en fonction des C, ct .çj.
3. Généralisation de l’équation (H.13) - 0 ri considere à présent yuc s(t) dépend de :Y(t) ct
l’on Ccrira :
s(t) = s[y(t): t].
L’éyuat,ion (H.13) n’est évidemment plus linéaire, mais on supposera encore que s [y(t); t]
est, une fonction à variations lentes et faibles. Rien du développement, formel préckdemrnent
r&li& n’est, modifié, seul lc calcul de l’int,égralc demandera le calcul explicite tic s[y(t); t], car
les coefficients ak dépendent des valeurs obtenues pour les y(T,).
Écrire explicitement l’expression donnant y(Tl) à partir de la forrnulc obtenue pour N = 1.
Indiquer ur1 procédé pour obtenir effectivement y(Tl) en fonct,ion dc ~(T(I) = y(0).
Cormaissant à présent y(To) et y(Tl), donner la formule exprimant y(!&) A partir de
l’expression obtenue pour N = 2. Puis indiquer un procédé perrnett,ant
dc calculer cffectivemcnt
02).
Décrire urle procédure complète d’intégration de la dernière équation différentielle proposcie.
Application numérique - Soit l’équation : 2 = -501/+ & avec y(0) = 0.2. Calculer ?/(II) et
y(2h) avec h = 0,05.
7.6. Problème de la poursuite
Un jardinier tourne à la vitesse constante dc 6 km/h autour d’un parterre dont la forme est une
ellipse de grand axe 26 = 20 m et de petit axe 2a = 12 rn. Lorsqu’il est en A, son chien est cn B
et court à sa rencontre de telle sorte que le vecteur vitesse du chien passe à chaque instant par
le point où SC trouve le jardinier. Le chien court à la vitesse constante de 20 km/h. Sachant~ que
la distance OB = 30 m ct que le chien a le droit de piétiner le parterre, t,rouver la trajectoire
du chien et représenter la graphiquement (cf. Fig. H. 1, page suivante).
Trouver, au besoin expérimentalement, des conditions initiales de ce problème pour lesquelles
le chien ne rattrape pas le jardinier. Tracer dans ce cas le cycle limitcx de la trajectoire suivie
par lc chien.
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
8.1. L’équation de Laplace, les isothermes d’un réfrigérateur
Nous nous proposons de d&rminer dans le plan les isotherrnes d’un rkfrigérateur à l’équilibre
thermique, c’est-à-dire quand dT/dt = 0, expression dans layuellc T représente la t,cmp+rat,urc:
et t lc temps (cf. Fig. H.2, page suivante).