MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Fonctions propres de l’opérateur de convolution
En d’autres tcrmcs, il s’agit de rcchcrchcr les fonctions qui, convolu~cs
par cllcs-mêmes, restent
inchangées. Désignons par 4(t) une de ces fonctions propres ; elle doit obéir à l’équation :
@(t)*@(t) = k@(t),
qui deviendra : Q(w)Q(w) = kQ(w)
dans l’espace de Fourier où Q(w) est la transformée de Fourier de 4(t).
La solution au sens classique est W(w) = C U # 0 sur un compact Iwl < WO, et 0 ailleurs. C’est
la fonction «porte » usuelle dont la transformée de Fourier inverse est, :
2Qw
sin(27rw”t)
27rwot
Il existe aussi une solution au sens des distributions; il s’agit de W(w) = fl sur l’intervalle
(-00, +oo) dont la t,ransformCc
dc Fourier inverse est /36(t).
5. Notions sur le filtrage
Par dkfinition, un filtre ternporel est une opération d’at,ténuation voire d’interruption ~ sur
ml signal. Désignons par z(t) Cett)e opération d’atjténuation, par s(t) le signal à filtrer ct par z(t)
le résultat ; nous pouvons écrire :
z(t) = z(t) s(t).
Le spectre de fréqucncc est modifié par cette opération et en passant dans l’cspacc dc Fourier,
nous obtenons :
TF
z(t) = z(t) ‘s(t) w
X(w) = z(w)*s(w).
TF-I
On voit bien que tout filtrage ternporel modifie le spcctrc du signal filtré. À titre d’exernple, on
peut évoquer l’usage d’un potentiomètre (ou d’un interrupteur), et lc simple fait dt «monter ) )
ou « baisser » le son sur un amplificateur d’audiofréquences modifie le spectre entendu. Pour
s’en convaincre: il suffit de réaliser plusieurs fois ces opbations plus ou moins rapidement sur le
premier poste radiophonique verill.
5.1. Exemple
La fonction «porte » laisse passer le signal sur l’intervalle (-T, T) e sa transformk dc Fourier
t
Z(w) est :
sin( 2nTw)
Z(w) = 2T &fJTw
S(w) sera convolué par Z(w) et plus T sera «grand », moins l’effet du filtrage sera sensible.
Remarque 1 : Le fait de dkoupcr un événernent temporel dans le temps afin de l’étudier a
comme conséquence la modification de son spectre.
Remarque 2 : On peut appliquer l’opkration de filtrage à la représentation fréquentielle (dans
l’espace dc Fourier). L’opération de convolution se fera dans l’cspacc direct.
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Fonctions propres de l’opérateur de convolution
En d’autres tcrmcs, il s’agit de rcchcrchcr les fonctions qui, convolu~cs
par cllcs-mêmes, restent
inchangées. Désignons par 4(t) une de ces fonctions propres ; elle doit obéir à l’équation :
@(t)*@(t) = k@(t),
qui deviendra : Q(w)Q(w) = kQ(w)
dans l’espace de Fourier où Q(w) est la transformée de Fourier de 4(t).
La solution au sens classique est W(w) = C U # 0 sur un compact Iwl < WO, et 0 ailleurs. C’est
la fonction «porte » usuelle dont la transformée de Fourier inverse est, :
2Qw
sin(27rw”t)
27rwot
Il existe aussi une solution au sens des distributions; il s’agit de W(w) = fl sur l’intervalle
(-00, +oo) dont la t,ransformCc
dc Fourier inverse est /36(t).
5. Notions sur le filtrage
Par dkfinition, un filtre ternporel est une opération d’at,ténuation voire d’interruption ~ sur
ml signal. Désignons par z(t) Cett)e opération d’atjténuation, par s(t) le signal à filtrer ct par z(t)
le résultat ; nous pouvons écrire :
z(t) = z(t) s(t).
Le spectre de fréqucncc est modifié par cette opération et en passant dans l’cspacc dc Fourier,
nous obtenons :
TF
z(t) = z(t) ‘s(t) w
X(w) = z(w)*s(w).
TF-I
On voit bien que tout filtrage ternporel modifie le spcctrc du signal filtré. À titre d’exernple, on
peut évoquer l’usage d’un potentiomètre (ou d’un interrupteur), et lc simple fait dt «monter ) )
ou « baisser » le son sur un amplificateur d’audiofréquences modifie le spectre entendu. Pour
s’en convaincre: il suffit de réaliser plusieurs fois ces opbations plus ou moins rapidement sur le
premier poste radiophonique verill.
5.1. Exemple
La fonction «porte » laisse passer le signal sur l’intervalle (-T, T) e sa transformk dc Fourier
t
Z(w) est :
sin( 2nTw)
Z(w) = 2T &fJTw
S(w) sera convolué par Z(w) et plus T sera «grand », moins l’effet du filtrage sera sensible.
Remarque 1 : Le fait de dkoupcr un événernent temporel dans le temps afin de l’étudier a
comme conséquence la modification de son spectre.
Remarque 2 : On peut appliquer l’opkration de filtrage à la représentation fréquentielle (dans
l’espace dc Fourier). L’opération de convolution se fera dans l’cspacc direct.
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