ANNEXE
G.
É LÉMENTS
SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
4. La convolution
Tout instrument de mesure modifie le signal d’entrée e(t) pour délivrer un signal de sortie s(t).
Cela est lié au fait qu’un signal d’entrée infiniment bref (impulsion de Dirac) a une réponse finie.
Cette réponse impulsionnelle a(t) du système de mesure (supposé linéaire) est appelée fonction
d’appareil.
La fonction d’appareil d’un dispositif électronique peut s’obtenir en attaquant l’entrée par
une très brève impulsion. Bien qu’il ne s’agisse pas d’un signal temporel, signalons toutefois la
fonction d’appareil d’un spectrographe qui peut être obtenue, dans le voisinage de Xc, par un
laser de longueur d’onde X0.
On peut voir maintenant de quelle manière un signal d’entrée e(t) se trouve perturbé à la
sortie s(t) par une fonction d’appareil u(t).
Pour cela il suffit de décomposer le signal d’entrée e(t) en une suite «d’impulsions » de largeur
At et dont l’amplitude sera e(kAt) avec le = 0, 1,2,. . , R. L’impulsion e(kAt) fournira à la sortie
le signal :
sk(t) = e(kAt)a(t - kAt)At.
Comme l’instrument de mesure est supposé linéaire, il y a additivité des sk(t) pour reconstituer le signal à la sortie, soit :
s(t) = 2 e(kAt)a(t - kAt)At.
k=O
Par ailleurs la fonction u(t) étant nulle pour t < 0, cela revient au même d’écrire que U(t-kAt)
est nulle pour t < kAt. Donc u(t) est à présent définie sur (-CO, +oo) et l’on a la relation :
s(t) = E e(kAt)u(t - kAt)At.
-00
Un classique passage à la limite obtenu en faisant tendre At vers zéro donne le résultat :
+ 0 3
s ( t ) = s
e(z)u(t ~ z) dz,
l’écriture symbolique de cette équation étant s(t) = e(t) * u(t).
Remarque 1 : En général, s(t) et u(t) sont les deux fonctions connues et c’est e(t) qui est
la fonction inconnue. L’équation de convolution, qui est pourtant une équation fonctionnelle
linéaire, offre bien des difficultés quant à sa résolution. Sur le plan numérique, les fonctions sont
toujours à support borné et l’intégrale est finie. Cette équation devient donc une intégrale de
Fredholm de première espèce qui est typiquement un problème mal posé (cf. chapitre 17). Sa
résolution nécessite l’usage de méthodes appropriées telles que la méthode des régularisants que
nous avons évoqué dans un paragraphe spécial consacré à l’équation de convolution.
Remarque 2 : Les opérateurs de convolution et de corrélation se ressemblent beaucoup ; notamment si une des fonctions est symétrique ils ne différeront que d’une constante multiplicative.
Dans les autres cas, la convolution consiste à renverser une des fonctions avant de procéder au
même calcul que celui défini pour la corrélation.
4 3 9
G.
É LÉMENTS
SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
4. La convolution
Tout instrument de mesure modifie le signal d’entrée e(t) pour délivrer un signal de sortie s(t).
Cela est lié au fait qu’un signal d’entrée infiniment bref (impulsion de Dirac) a une réponse finie.
Cette réponse impulsionnelle a(t) du système de mesure (supposé linéaire) est appelée fonction
d’appareil.
La fonction d’appareil d’un dispositif électronique peut s’obtenir en attaquant l’entrée par
une très brève impulsion. Bien qu’il ne s’agisse pas d’un signal temporel, signalons toutefois la
fonction d’appareil d’un spectrographe qui peut être obtenue, dans le voisinage de Xc, par un
laser de longueur d’onde X0.
On peut voir maintenant de quelle manière un signal d’entrée e(t) se trouve perturbé à la
sortie s(t) par une fonction d’appareil u(t).
Pour cela il suffit de décomposer le signal d’entrée e(t) en une suite «d’impulsions » de largeur
At et dont l’amplitude sera e(kAt) avec le = 0, 1,2,. . , R. L’impulsion e(kAt) fournira à la sortie
le signal :
sk(t) = e(kAt)a(t - kAt)At.
Comme l’instrument de mesure est supposé linéaire, il y a additivité des sk(t) pour reconstituer le signal à la sortie, soit :
s(t) = 2 e(kAt)a(t - kAt)At.
k=O
Par ailleurs la fonction u(t) étant nulle pour t < 0, cela revient au même d’écrire que U(t-kAt)
est nulle pour t < kAt. Donc u(t) est à présent définie sur (-CO, +oo) et l’on a la relation :
s(t) = E e(kAt)u(t - kAt)At.
-00
Un classique passage à la limite obtenu en faisant tendre At vers zéro donne le résultat :
+ 0 3
s ( t ) = s
e(z)u(t ~ z) dz,
l’écriture symbolique de cette équation étant s(t) = e(t) * u(t).
Remarque 1 : En général, s(t) et u(t) sont les deux fonctions connues et c’est e(t) qui est
la fonction inconnue. L’équation de convolution, qui est pourtant une équation fonctionnelle
linéaire, offre bien des difficultés quant à sa résolution. Sur le plan numérique, les fonctions sont
toujours à support borné et l’intégrale est finie. Cette équation devient donc une intégrale de
Fredholm de première espèce qui est typiquement un problème mal posé (cf. chapitre 17). Sa
résolution nécessite l’usage de méthodes appropriées telles que la méthode des régularisants que
nous avons évoqué dans un paragraphe spécial consacré à l’équation de convolution.
Remarque 2 : Les opérateurs de convolution et de corrélation se ressemblent beaucoup ; notamment si une des fonctions est symétrique ils ne différeront que d’une constante multiplicative.
Dans les autres cas, la convolution consiste à renverser une des fonctions avant de procéder au
même calcul que celui défini pour la corrélation.
4 3 9