MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
qui s’écrit encore :
Puisque le bruit est indépendant du signal e(t), on en déduit que :
Par ailleurs, nous avons dit que ~DB(T) tendait vers zéro quand la période d’intégration T,
tendait vers l’infini. Bien que la période Ti ne tende pas vers l’infini mais est « suffisamment
grande », on pourra admettre que :
Ainsi, les extremums successifs donnent la période Te du signal.
Comment extraire ce signal périodique?
C’est la fonction q(t) = sha(t) (pel‘gne de Dirac) qui nous apporte la solution. Comme c’est
une fonction paire, le résultat de la corrélation et le résultat de la convolution sont identiques
à un facteur multiplicatif près (si l’on ne divise pas par T, la corrélation). Or la convolution
d’une fonction périodique e(t) avec une fonction peigne de même période laisse la fonction e(t)
inchangée. Ce qui revient au même de dire que l’intercorrélation de la fonction périodique e(t)
avec la fonction peigne de même période fournit la fonction e(t) elle-même. Donc :
Csq(TT) = G,(T) + Cfiq(7)
Coq(~) est nulle et comme Ceq(7) = e(T), on obtient en définitive :
Csq(~) = e(T)
Remarque : Lorsque le signal est susceptible d’être reproduit aux erreurs près dues au bruit,
la somme des signaux successifs permet d’éliminer statistiquement le bruit. On a enregistré n
fois le signal si(t) = ci(t) + ,6,(t). Nous écrivons alors :
car la moyenne du bruit est nulle k En=, p,(t) = 0.
3.2. Calcul de la densité spectrale d’énergie
La densité spectrale énergétique S,,(w) est la transformée de Fourier de la fonction de corrélation
CZy (t) (théorème de Wiener-Kinchine). En général, c’est la fonction de corrélation que l’on sait
calculer ; on en effectue la transformée de Fourier, et l’on obtient la densité spectrale d’énergie.
3.3. Recherche du maximum de la fonction d’intercorrélation
La recherche du maximum de la fonction d’intercorrélation fournit une mesure du temps de
décalage entre une excitation e(t) et la réponse r(t) et par conséquent une mesure de la vitesse de
propagation du phénomène. L’étude de la dispersion de la vitesse en fonction de la fréquence peut
être abordée au moyen de la fonction d’intercorrélation puis du théorème de Wiener-Kinchine.
438
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
qui s’écrit encore :
Puisque le bruit est indépendant du signal e(t), on en déduit que :
Par ailleurs, nous avons dit que ~DB(T) tendait vers zéro quand la période d’intégration T,
tendait vers l’infini. Bien que la période Ti ne tende pas vers l’infini mais est « suffisamment
grande », on pourra admettre que :
Ainsi, les extremums successifs donnent la période Te du signal.
Comment extraire ce signal périodique?
C’est la fonction q(t) = sha(t) (pel‘gne de Dirac) qui nous apporte la solution. Comme c’est
une fonction paire, le résultat de la corrélation et le résultat de la convolution sont identiques
à un facteur multiplicatif près (si l’on ne divise pas par T, la corrélation). Or la convolution
d’une fonction périodique e(t) avec une fonction peigne de même période laisse la fonction e(t)
inchangée. Ce qui revient au même de dire que l’intercorrélation de la fonction périodique e(t)
avec la fonction peigne de même période fournit la fonction e(t) elle-même. Donc :
Csq(TT) = G,(T) + Cfiq(7)
Coq(~) est nulle et comme Ceq(7) = e(T), on obtient en définitive :
Csq(~) = e(T)
Remarque : Lorsque le signal est susceptible d’être reproduit aux erreurs près dues au bruit,
la somme des signaux successifs permet d’éliminer statistiquement le bruit. On a enregistré n
fois le signal si(t) = ci(t) + ,6,(t). Nous écrivons alors :
car la moyenne du bruit est nulle k En=, p,(t) = 0.
3.2. Calcul de la densité spectrale d’énergie
La densité spectrale énergétique S,,(w) est la transformée de Fourier de la fonction de corrélation
CZy (t) (théorème de Wiener-Kinchine). En général, c’est la fonction de corrélation que l’on sait
calculer ; on en effectue la transformée de Fourier, et l’on obtient la densité spectrale d’énergie.
3.3. Recherche du maximum de la fonction d’intercorrélation
La recherche du maximum de la fonction d’intercorrélation fournit une mesure du temps de
décalage entre une excitation e(t) et la réponse r(t) et par conséquent une mesure de la vitesse de
propagation du phénomène. L’étude de la dispersion de la vitesse en fonction de la fréquence peut
être abordée au moyen de la fonction d’intercorrélation puis du théorème de Wiener-Kinchine.
438