ANNEXE G. É LÉMENTS SUCCINCTS SUR LE TRAITEMENTDIJSIGNAL
Dans lc cas d’un signal periodique e(t) de période T, la fonction d’autocorrélation est
egalement périodique de période T. Dans ce cas, le signal est décomposable en série de Fourier:
soit :
e(t) = 7 + -g
27ltkt
ak Cos ~
T
k=l
on en dcduit la fonction d’autocorrélation (définie sur
27rl‘iA
,
27rICtl
7’/2
e(t)e(t - T) dt = +
ak Cos ~
T
+ cq+ sm ~
Tl
-T/2
X
ak Cos
27rlc(t ~ 7)
T
+ bk sin
27rlc(t - 7)
T
1
27rkr
dt = 2 + ; 2 [u;. + O;] COS T .
k=l
27rkzt
+ bk sin ~
1
T
’
une période) :
2.2. Cas de la fonction d’intercorrélation
Dans ce cas, il n’y a plus de propriétés extrémales ni de parite.
a - Czy(t) = Cyz(-t).
b - Le théorème de Wiener (189441952) - Kinchine (1894 1959) demeure :
TF
G,(t)
ff
S:lxJ(w).
TF-I
SX,(w) est la densité énergctique d’interaction, elle est liée à l’information échangée entre les
deux signaux.
Dans le cas de deux signaux périodiques de même période T, la fonction d’autocorrélation est
également pcriodique de période T.
3. Applications de la corrélation
La corrélation trouve des applications fondamentales dans les domaines suivants :
3.1. Détection et extraction d’un signal périodique noyé dans du bruit
On considère un signal e(t) périodique, de période Te auquel s’est superposé un bruit /3(t). Le
signal délivré est alors :
s(t) = e(t) + P(t).
On désigne par C,,(r) la fonction d’autocorrélation :
T
CL(T) = ; J’
[e(t) + P(t)][e(t - T) + P(t ~ T)] dt,
0
437