ANNEXE
G.
É LEMENTS
SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
5.2. Les filtres physiques
Aux instants t < 0, un filt,re physique ne peut avoir qu’une rkponse nulle (principe de causalité) j
ct à l’irnpulsion 6(t) on observe la réponse a(t) qui est nulle pour t < 0 et définie pour t > 0.
Soit A(w) sa transformée de Fourier que nous kcrivons :
A(w) = U(w) +~V(W)
U ct V sont rkcls.
V(w) n’est jamais mille car pour cela il faudrait que a(t) soit symétrique par rapport à t = 0 cc
qui n’est pas possible. On peut adopter III~~ autre présentation :
4~) = lA(w)l exdNw)l
où IA(w) 1 est le module et 4(w) la phase. De là, on conclut que t,out, filtre physiqw dkphasr: le
signal d’entrée.
5.3. Cas du monochromateur
Il s’agit de concevoir 1111 filtre qui ne laisse passer qu’une seule fréqucncc. Cela n’est pas rkalisahlc.
En effet, dans l’espace de Fourier, on doit obtenir deux raies infiniment étroites (cf. la fonction
de Dirac) symétriques par rapport 2 w = 0 ou symétriques par rapport à l’axe w = 0. Dans
l’espace direct, nous avons vu qu’il s’agissait soit, d’une sinusoïde pure, soit d’mlc cosinusoïdc
pure lcsquclles s’étcndcnt toutes les deux sur (-w ; +oo).
Dès que l’on aborde les applications pratiques, on ne peut que tronquer ces fonctions ct les
considérer uniquement sur 1111 intervalle fini. Ccttc opkation dc troncature est kvidemrnent
un
filt,ragc t,cmporel qui a comme consCquencc
immédiate l’klargissement des «raies ) ) dans l’espace
dc Fourier. Transcrivons n~athCmatiqucmcnt ces opk-ations :
Soient e(t) le signal à filtrer et E( )
w sa transformée de Fourier. Il s’agit donc dc convoluer
e(t)
et a(t) = cos(2rwot), mais on voit bien qu’on ne peut pas réaliser la convolution sur l’espa.ce des
t tout entier, et il nous faut tronquer par la fonction porte p(t) dont la transformk dc Fourier
est P(w).
TF
e(t)*a(t)
H
E(w)A(w)
e(t)* b(tMt)l - E(w)[A(w)*P(w)l
TF-’
6. Notion de bruit
Il y a diverses approches du bruit qui sont plus ou moins fkcondrs et riches de développcmcnts
fructueux :
6.1. Le bruit blanc
On dit qu’un bruit est blanc lorsque son spectre de puissance est constant dans toute l’étendue
des fréquences. Autrement dit, sa fonction d’autocorrélation est une irnpulsion de Dirac h(t). Il
s’agit là d’une analogie avec la lumitirc blanche.
D’un point de vue pratique, un tel bruit n’existe pas ; cependant, on dira que l’on a affaire à
un bruit blanc lorsque la fonction est constante en moyenne dans la bande de fréquence utilisée
par les systèmes considérés. Bien sûr la fonction d’autocorrélation calculée nc sera pas 1111 pic de
Dirac mais une courbe très étroite dans le temps, l’unit& de ternps étant les temps de corrélation
considérés. Il s’ensuit que les hautes fréquences seront filtrées (le bleu s’il s’agit de la lumière)
et il restera les basses frkqucnces (le rouge s’il s’agit de la lumihrc), d’où le norn de bruit rose.
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G.
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SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
5.2. Les filtres physiques
Aux instants t < 0, un filt,re physique ne peut avoir qu’une rkponse nulle (principe de causalité) j
ct à l’irnpulsion 6(t) on observe la réponse a(t) qui est nulle pour t < 0 et définie pour t > 0.
Soit A(w) sa transformée de Fourier que nous kcrivons :
A(w) = U(w) +~V(W)
U ct V sont rkcls.
V(w) n’est jamais mille car pour cela il faudrait que a(t) soit symétrique par rapport à t = 0 cc
qui n’est pas possible. On peut adopter III~~ autre présentation :
4~) = lA(w)l exdNw)l
où IA(w) 1 est le module et 4(w) la phase. De là, on conclut que t,out, filtre physiqw dkphasr: le
signal d’entrée.
5.3. Cas du monochromateur
Il s’agit de concevoir 1111 filtre qui ne laisse passer qu’une seule fréqucncc. Cela n’est pas rkalisahlc.
En effet, dans l’espace de Fourier, on doit obtenir deux raies infiniment étroites (cf. la fonction
de Dirac) symétriques par rapport 2 w = 0 ou symétriques par rapport à l’axe w = 0. Dans
l’espace direct, nous avons vu qu’il s’agissait soit, d’une sinusoïde pure, soit d’mlc cosinusoïdc
pure lcsquclles s’étcndcnt toutes les deux sur (-w ; +oo).
Dès que l’on aborde les applications pratiques, on ne peut que tronquer ces fonctions ct les
considérer uniquement sur 1111 intervalle fini. Ccttc opkation dc troncature est kvidemrnent
un
filt,ragc t,cmporel qui a comme consCquencc
immédiate l’klargissement des «raies ) ) dans l’espace
dc Fourier. Transcrivons n~athCmatiqucmcnt ces opk-ations :
Soient e(t) le signal à filtrer et E( )
w sa transformée de Fourier. Il s’agit donc dc convoluer
e(t)
et a(t) = cos(2rwot), mais on voit bien qu’on ne peut pas réaliser la convolution sur l’espa.ce des
t tout entier, et il nous faut tronquer par la fonction porte p(t) dont la transformk dc Fourier
est P(w).
TF
e(t)*a(t)
H
E(w)A(w)
e(t)* b(tMt)l - E(w)[A(w)*P(w)l
TF-’
6. Notion de bruit
Il y a diverses approches du bruit qui sont plus ou moins fkcondrs et riches de développcmcnts
fructueux :
6.1. Le bruit blanc
On dit qu’un bruit est blanc lorsque son spectre de puissance est constant dans toute l’étendue
des fréquences. Autrement dit, sa fonction d’autocorrélation est une irnpulsion de Dirac h(t). Il
s’agit là d’une analogie avec la lumitirc blanche.
D’un point de vue pratique, un tel bruit n’existe pas ; cependant, on dira que l’on a affaire à
un bruit blanc lorsque la fonction est constante en moyenne dans la bande de fréquence utilisée
par les systèmes considérés. Bien sûr la fonction d’autocorrélation calculée nc sera pas 1111 pic de
Dirac mais une courbe très étroite dans le temps, l’unit& de ternps étant les temps de corrélation
considérés. Il s’ensuit que les hautes fréquences seront filtrées (le bleu s’il s’agit de la lumière)
et il restera les basses frkqucnces (le rouge s’il s’agit de la lumihrc), d’où le norn de bruit rose.
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