ANNEXE
G. ÉLÉMENTS
SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
Densité de puissance ou densité spectrale énergétique - C’est la fonction S,,(wc) égale à la
dérivée de la puissance P(w) par rapport à la fréquence w (il s’agit de la puissance définie au
paragraphe 1 exprimée en fonction de la fréquence) :
dP(w)
s7x(wo) = ~ dw
pour w = wc.
Types de signaux - Les signaux rencontrés au cours des expériences réelles sont essentiellement
de trois types :
a. Les signaux périodiques,
b. les signaux «transitoires » qui ne sont pas périodiques mais qui sont localisés dans l’espace
direct,
c. le bruit.
Aux signaux évoqués en a et b se superpose, dans le cas général, un bruit. Celui-ci est bien
représenté par une fonction aléatoire ayant la propriété de stationnarité (la moyenne, l’écart
quadratique etc. sont indépendants du temps). De plus il n’est ni périodique ni localisé dans
l’espace direct.
2. La corrélation et ses propriétés
Sans nuire à la généralité, nous limiterons notre propos aux phénomènes dépendant du temps.
Plus précisément, il s’agira le plus souvent de considérer un ensemble de fonctions représentant
le même phénomène physique donc de fonctions réelles.
Voici quelques exemples : les enregistrements de tensions délivrées par des capteurs pour
réaliser un encéphalogramme, un électrocardiogramme, l’enregistrement de la température en
un lieu donné, l’enregistrement du taux de CO2 dans une ville donnée, l’enregistrement du
spectre d’émission d’un astre, etc.
La question alors qui se pose est de savoir si le processus P, qui donne naissance aux fonctions
z(t) et le processus physique Py qui donne naissance aux fonctions y(t) sont en relation. La
réponse se trouve dans la fonction de corrélation qui consiste à comparer z(t) et y(t) à différents
instants. L’idée repose sur la mesure de la surface commune au graphe de z(t) et au graphe
de y(t) décalés entre eux d’une quantité T. Cette surface est une fonction du décalage T. Plus
le signal y(t) aura tendance à reproduire l’allure du signal z(t) après un décalage 7-0, plus la
surface commune sera «grande » et plus les processus physiques seront corrélés. Si les signaux
z(t) et y(t) sont différents, la fonction de corrélation s’appelle intercorrélation, tandis que si les
signaux sont les mêmes on parle de fonction d’autocorrélation. L’expression de la fonction de
corrélation s’écrit au temps to :
to+T
s
4t)y(t - 7) dt,
to
tn+T
s
x(t)x(t - T) dt.
to
Un exemple physique de fonction de corrélation : les interférences
(G.8)
CG.91
435
G. ÉLÉMENTS
SUCCINCTS
SUR
LE
TRAITEMENTDUSIGNAL
Densité de puissance ou densité spectrale énergétique - C’est la fonction S,,(wc) égale à la
dérivée de la puissance P(w) par rapport à la fréquence w (il s’agit de la puissance définie au
paragraphe 1 exprimée en fonction de la fréquence) :
dP(w)
s7x(wo) = ~ dw
pour w = wc.
Types de signaux - Les signaux rencontrés au cours des expériences réelles sont essentiellement
de trois types :
a. Les signaux périodiques,
b. les signaux «transitoires » qui ne sont pas périodiques mais qui sont localisés dans l’espace
direct,
c. le bruit.
Aux signaux évoqués en a et b se superpose, dans le cas général, un bruit. Celui-ci est bien
représenté par une fonction aléatoire ayant la propriété de stationnarité (la moyenne, l’écart
quadratique etc. sont indépendants du temps). De plus il n’est ni périodique ni localisé dans
l’espace direct.
2. La corrélation et ses propriétés
Sans nuire à la généralité, nous limiterons notre propos aux phénomènes dépendant du temps.
Plus précisément, il s’agira le plus souvent de considérer un ensemble de fonctions représentant
le même phénomène physique donc de fonctions réelles.
Voici quelques exemples : les enregistrements de tensions délivrées par des capteurs pour
réaliser un encéphalogramme, un électrocardiogramme, l’enregistrement de la température en
un lieu donné, l’enregistrement du taux de CO2 dans une ville donnée, l’enregistrement du
spectre d’émission d’un astre, etc.
La question alors qui se pose est de savoir si le processus P, qui donne naissance aux fonctions
z(t) et le processus physique Py qui donne naissance aux fonctions y(t) sont en relation. La
réponse se trouve dans la fonction de corrélation qui consiste à comparer z(t) et y(t) à différents
instants. L’idée repose sur la mesure de la surface commune au graphe de z(t) et au graphe
de y(t) décalés entre eux d’une quantité T. Cette surface est une fonction du décalage T. Plus
le signal y(t) aura tendance à reproduire l’allure du signal z(t) après un décalage 7-0, plus la
surface commune sera «grande » et plus les processus physiques seront corrélés. Si les signaux
z(t) et y(t) sont différents, la fonction de corrélation s’appelle intercorrélation, tandis que si les
signaux sont les mêmes on parle de fonction d’autocorrélation. L’expression de la fonction de
corrélation s’écrit au temps to :
to+T
s
4t)y(t - 7) dt,
to
tn+T
s
x(t)x(t - T) dt.
to
Un exemple physique de fonction de corrélation : les interférences
(G.8)
CG.91
435