MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
c - Lc calcul de Yv(z) avec v non entier est réalisé au moyen de la formule (F.4) dans laquelle
on devra calculer JpV(z) que ne permet pas de calculer la relation (F.9). On l’obtiendra au
moyen de la relation de rkurrence (F.7).
d - Le calcul dc Y, (z) avec n entier est fondé sur l’exploitation de l’expression (F.5) qui utilise
le calcul deJ, (z
I
.
Sur le Web *), on trouvera url ensemble de programmes besselln. c, bessellf . c,
bessel2n.c, bessel2f .c, besseljf .h, besse1jn.h et besse1yn.h qui réalisent ces différents
calculs. La précision obtenue est donnée dans les commentaires en tête des programmes.
5. Calcul de l’erreur sur JO(X)
Nous partons de l’expression intégrale de Jo(z)
1
1
Jo(x)=;
~
s
cos(xt) dt
~1 VT3
kvaluée par la mkthode de Gauss-Tchebycheff pour laquelle pèse une erreur de l’ordre de :
hf21Lf2 est aisé ü obtenir et sa valeur est :
2n+2
1x1
Comme nous avons choisi n = 100, nous pouvons faire usage de la formule de Stirling pour
s’affranchir de la fonction factorielle, et nous obtenons :
log, E(z) = (2n + 2) log,
Pour fixer les idkes, cherchons les valeurs de 5 qui permettent d’ohtcnir mie précision ahsolue
de lO-‘O sur Job, en choisissant toiijours n = 20 :
1x1 = 54.
D’un point de vue pratique, cela signifie que tous les chiffres significatifs de la tabulation
sont exacts, la seule source d’erreur étant, la propagation de l’erreur k travers l’opération de
troncature des opérations arithmétiques effectuées...
Pour ce qui concerne les autres fonctions de Bessel de prcmikrc C~~~CC, il est difficile d’exploiter
une relation généra.le qui donnerait directement une majoration de ïV zn+2 pour Jk (z), toutefois,
pour les prernières valeurs de k, le calcul direct en faisant usage de la formule de dérivation de
Leibnitz permet d’aboutir.
6. Éléments de bibliographie
A. ANGOT (1972) Compléments de mathkmatique,s,
Éditions Masson.
G. GO~DET (1962) L,, f
es onctions de Bessel, Editions Masson.
C. MULLER (1998) Analysis of s&rkul symetries 1;n euckdian SZ>(I,CCR, Springer.
E.T. WHITTAKER et G.N. WATSON (1992) Modem Analysis, Cambridge University Press.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
c - Lc calcul de Yv(z) avec v non entier est réalisé au moyen de la formule (F.4) dans laquelle
on devra calculer JpV(z) que ne permet pas de calculer la relation (F.9). On l’obtiendra au
moyen de la relation de rkurrence (F.7).
d - Le calcul dc Y, (z) avec n entier est fondé sur l’exploitation de l’expression (F.5) qui utilise
le calcul deJ, (z
I
.
Sur le Web *), on trouvera url ensemble de programmes besselln. c, bessellf . c,
bessel2n.c, bessel2f .c, besseljf .h, besse1jn.h et besse1yn.h qui réalisent ces différents
calculs. La précision obtenue est donnée dans les commentaires en tête des programmes.
5. Calcul de l’erreur sur JO(X)
Nous partons de l’expression intégrale de Jo(z)
1
1
Jo(x)=;
~
s
cos(xt) dt
~1 VT3
kvaluée par la mkthode de Gauss-Tchebycheff pour laquelle pèse une erreur de l’ordre de :
hf21Lf2 est aisé ü obtenir et sa valeur est :
2n+2
1x1
Comme nous avons choisi n = 100, nous pouvons faire usage de la formule de Stirling pour
s’affranchir de la fonction factorielle, et nous obtenons :
log, E(z) = (2n + 2) log,
Pour fixer les idkes, cherchons les valeurs de 5 qui permettent d’ohtcnir mie précision ahsolue
de lO-‘O sur Job, en choisissant toiijours n = 20 :
1x1 = 54.
D’un point de vue pratique, cela signifie que tous les chiffres significatifs de la tabulation
sont exacts, la seule source d’erreur étant, la propagation de l’erreur k travers l’opération de
troncature des opérations arithmétiques effectuées...
Pour ce qui concerne les autres fonctions de Bessel de prcmikrc C~~~CC, il est difficile d’exploiter
une relation généra.le qui donnerait directement une majoration de ïV zn+2 pour Jk (z), toutefois,
pour les prernières valeurs de k, le calcul direct en faisant usage de la formule de dérivation de
Leibnitz permet d’aboutir.
6. Éléments de bibliographie
A. ANGOT (1972) Compléments de mathkmatique,s,
Éditions Masson.
G. GO~DET (1962) L,, f
es onctions de Bessel, Editions Masson.
C. MULLER (1998) Analysis of s&rkul symetries 1;n euckdian SZ>(I,CCR, Springer.
E.T. WHITTAKER et G.N. WATSON (1992) Modem Analysis, Cambridge University Press.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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