ANNEXE F. CALCUL NUMÉRIQUE DES FONCTIONS DE B ESSEL
On peut fonder quelques espoirs sur cette dernière relation de récurrence si l’on cherche à
calculer les fonctions de Bessel d’ordre entier comme c’est généralement le cas.
À partir de IV~(X) et WI(x), on peut calculer Wn(x) ; malheureusement, le jeu des erreurs dû
aux soustractions nous conduira très rapidement à des résultats peu précis et l’on ne peut pas
espérer dépasser pour n une dizaine d’unités, mais tout dépend du nombre de chiffres significatifs
retenus pour effectuer les calculs. Du reste une application sera présentée pour le calcul de Jeu(x)
servant au calcul de YV(,) pour v non entier.
3. Représentation de Jy(x) par une intégrale définie
On admettra sans démonstration les résultats suivants :
TP
sin2”(t) COS[~ sin(t)] dt
0
7T
&+ 1/2) ;
v
(>s
sin2v(t) COS[~ sin(t)] dt
0
(F.8)
Jv(x) = @(u2+ 1/2) %
v
()J’
(1 - TL’)-~‘~ COS(~~) du
0
(F.9)
avec cette restriction toutefois que u > -1/2.
Cette dernière relation est une excellente expression qui s’intègre élégamment par la méthode
de Gauss-Tchebycheff et fournit des résultats d’une remarquable précision.
4. Technique de calcul
a - Le calcul de Jn(z) avec n entier s’effectue au moyen de l’intégration numérique de la
relation (F.9)) et pour plus de précision nous calculerons séparément Je(z) et Jr (z) au moyen
des relations :
1
COS(d)
Jo(x) = ;-, J1-t" dt
s
et Jr(x)=%
J
cos(st) J1-tz dt.
-1
6 - Le calcul de JV(x) avec v non entier s’effectue au moyen de la relation (F.9). Bien qu’il n’y
ait aucune différence apparente dans le calcul de J que l’ordre soit entier ou non entier, nous
avons tenu à la séparation des deux types, les fonctions de Bessel d’ordre entier étant de très
loin les plus utilisées.
En ce qui concerne le calcul de la fonction gamma qui figure dans les formules, on utilise
l’expression intégrale suivante :
00
r(x) =
J
exp(-t)tZP1 dt,
0
qui se calcule aisément au moyen de la méthode de Gauss-Laguerre.
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