MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On peut voir sans grande difficulté que tous les coefficients aj dépendent du coefficient aa.
Par définition, les fonctions de Bessel de première espèce sont celles pour lesquelles le coefficient
arbitraire ao est égal à :
1
ao = 2/qy1+ PI
où I’(z) est la fonction gamma ; en définitive, elles s’écrivent sous la forme :
Sans entrer dans les détails, il existe une deuxième solution, indépendante de la première,
appelée solution de Weber (184221913)) qui donne naissance aux fonctions de Bessel de deuxième
espèce ; elles s’écrivent (si v est différent d’un nombre entier) :
yv(x) = A(x) cos(rv) - J-v(x) .
sin(7w)
CF.4
Si Y est entier égal à n, cette dernière expression est une forme indéterminée; en appliquant
la règle de l’Hospita1, nous obtenons la solution :
Y, (x) = CJ&) l oge (;) - ; nc cn - ;!- l )! (;)2m-”
m=O
-- ; go m!i;y”nL), (;)îm+n [Q(m) + *cm + n)l,
où Q(X) est la dérivée logarithmique de la fonction factorielle, à savoir :
e(x) =
Y(1 + z)
r(1 + z)
(F.5)
P.6)
encore appelée fonction digamma. Si x est un nombre entier appelé n, nous avons :
avec
@(O) = -y = -0,577215 664 901532 8 (constante d’Euler).
Ce sont les expressions (F.3), (F.4) et (F.5) qui font l’objet de la programmation pour obtenir
les tables désirées.
2. Relations de récurrence
Les deux espèces obéissent aux mêmes relations de récurrence, donc en désignant par WV(x)
l’une et l’autre des deux fonctions nous pouvons écrire :
xw:(x) = zAvv(x) - XWv,l(X)
xiv:(x) = -uWY(x) + XWv-l(X)
2w:(2) = WV-l(X) - Wu,l(X)
zSww(z) = WV-l(X) + Wv-tl(X).
(F.7)
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