F Calcul numérique
des fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel occupent une place très importante dans les solutions de problèmes
offrant la syrnétrie cylindrique et l’on peut dire que, dans la hiérarchie des fonctions qu’il
est nécessaire de tabuler, elles viennent juste après les fonctions trigonométriques, la fonction
logarithme et la fonction exponcntielle, mais on a coutume de les faire rentrer dans la classe des
fonctions dites spéciales. Il existe beaucoup d’ouvrages qui traitent des propri6tés remarquables
de ces fonctions, on en trouvera quelques uns cités en bibliographie. Notre but est de montrer
cornment on peut obtenir aisément ces t,ables numériques au moyen des algorithmes que nous
avons établis.
1. L’équation différentielle des fonctions de Bessel (1784-1846)
L’équation de Laplace (ou de Poisson) à laquelle obéit une grandeur V(p, 0,~) s’écrit en
coordonnées cylindriques (p, 0,~) :
d2V
1 ûv
1 d”V
@V
-+p.Y&+~.gjy+i)Z2=0
dp”
On recherche les’solutions sous forme de produits de Laplace :
V(P, O>Z) = R(p)@(W(z),
ce qui nous autorise ensuite à passer en dérivées droites :
(F.1)
c’est cette équation différentielle qui est appelée équation de Bessel. Rékcrivons-la plus conventionnellement en terme de W(X) :
Cherchons une solution sous la forme d’un développement en série entière que l’on écrit :
y = xp fy UjXj
CF.21
.1=0
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