ANNEXEE.
C ALCUL
DES
FONCTIONS
DE
BIBLIOTHÈQUE
É LÉMENTAIRES
3. Calcul de log,(x) pour x appartenant à (0, +oo)
Écrivons le nombre z dans le système binaire. Nous obtenons en choisissant la représentation
flottante :
zx = 0,boblbzbxb4bsb6b7..
. 2L’1 avec bo # 0.
POSOI~S N = 2L, de telle sorte que l’on puisse ecrire :
log,, (x) = L log, (2) + log, (Q)
Autrement dit, on a 5 = LLQ avec 1 < Q < 2. On reconnaît une technique tout à fait
semblable a celle utilisée pour la décomposition de exp(z).
Il reste à calculer log, (Q) avec 1 < Q < 2, opération que l’on réalisera soit avec les
approximants de Padé soit avec les approximants de Maehly. Encore une fois insistons sur
le fait que cette idée ne constitue que le principe du calcul. À titre d’exemple, on peut très bien
utiliser les approximants de la fonction log( 1 - 2tz + t2) en choisissant t = 0,5, soit log(1,25 -x).
On obtient alors z = 0,25 et z = -0,75 comme limites de variation pour x.
Proposons-nous dc calculer log(35 784,35174). En appliquant les règles précédentes, on obtient
L = 15 et Q = 1,092 05175. Il faut faire :
x = 1,25 ~ 1,092 05175 = 0,157948 25
et l’on trouve :
log(Q) = 0,088 061275
en adoptant l’approximant de Maehly pour p = 4 = 4. D’où lc résultat :
log(35 784,35174) = 10,485 269
Ici le dernier chiffre est entaché d’erreur.
4. Calcul de tangente et cotangente pour x appartenant à (-00, +oo)
Les raisons de parité permettent de travailler sur l’intervalle (0, oo), tandis que la division par
T ramène l’intervalle à (0, T). En appliquant la technique dé,@ évoquée pour les fonctions sinus
et cosinus, on se ramène à l’intervalle (0,7r/4). B’ren sûr, OII se souviendra que le produit de
tangente et de cotangente du même argurnent est égal a l’unité.
Ensuite, il y a plusieurs façon d’évaluer ces fonctions dans un imervallc reduit. On peut utiliser
la fraction continue suivante :
mais on peut aussi obtenir des approxirnants de Padé ou de Maehly à partir du developpement
banal de cet(x) :
où les Bzk sont les nombres de Bernoulli (cf. p. 178). Cette série converge pour x2 < 7r2.
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DES
FONCTIONS
DE
BIBLIOTHÈQUE
É LÉMENTAIRES
3. Calcul de log,(x) pour x appartenant à (0, +oo)
Écrivons le nombre z dans le système binaire. Nous obtenons en choisissant la représentation
flottante :
zx = 0,boblbzbxb4bsb6b7..
. 2L’1 avec bo # 0.
POSOI~S N = 2L, de telle sorte que l’on puisse ecrire :
log,, (x) = L log, (2) + log, (Q)
Autrement dit, on a 5 = LLQ avec 1 < Q < 2. On reconnaît une technique tout à fait
semblable a celle utilisée pour la décomposition de exp(z).
Il reste à calculer log, (Q) avec 1 < Q < 2, opération que l’on réalisera soit avec les
approximants de Padé soit avec les approximants de Maehly. Encore une fois insistons sur
le fait que cette idée ne constitue que le principe du calcul. À titre d’exemple, on peut très bien
utiliser les approximants de la fonction log( 1 - 2tz + t2) en choisissant t = 0,5, soit log(1,25 -x).
On obtient alors z = 0,25 et z = -0,75 comme limites de variation pour x.
Proposons-nous dc calculer log(35 784,35174). En appliquant les règles précédentes, on obtient
L = 15 et Q = 1,092 05175. Il faut faire :
x = 1,25 ~ 1,092 05175 = 0,157948 25
et l’on trouve :
log(Q) = 0,088 061275
en adoptant l’approximant de Maehly pour p = 4 = 4. D’où lc résultat :
log(35 784,35174) = 10,485 269
Ici le dernier chiffre est entaché d’erreur.
4. Calcul de tangente et cotangente pour x appartenant à (-00, +oo)
Les raisons de parité permettent de travailler sur l’intervalle (0, oo), tandis que la division par
T ramène l’intervalle à (0, T). En appliquant la technique dé,@ évoquée pour les fonctions sinus
et cosinus, on se ramène à l’intervalle (0,7r/4). B’ren sûr, OII se souviendra que le produit de
tangente et de cotangente du même argurnent est égal a l’unité.
Ensuite, il y a plusieurs façon d’évaluer ces fonctions dans un imervallc reduit. On peut utiliser
la fraction continue suivante :
mais on peut aussi obtenir des approxirnants de Padé ou de Maehly à partir du developpement
banal de cet(x) :
où les Bzk sont les nombres de Bernoulli (cf. p. 178). Cette série converge pour x2 < 7r2.
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