MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si s2 est positif, on aura : sin(nrr) = sin(n2T) et
cos(n17r) = cos(npT).
Si s2 est négatif, on écrit : sin(ni7r) = cos(n27r)
et
cos(n17r) = sin(ngr).
On calcule les fonctions cosinus et sinus des réductions au moyen des approximants de Padi:
obtenus respectivement pour p = q = 3 et p = q = 2 qui assurent une précision d’au moins huit
chiffres significatifs. Il est possible de faire mieux encore, mais il nous a semblé préférable de nous
attacher surtout à la philosophie générale. Cependant, lorsqu’il s’agit d’implanter une fonction
dans un système, il n’y a plus aucun détail qui puisse etre délaisse. À précision égale, l’algorithme
qui contient le moins d’opérations logiques et arithmétiques ~ qui sera par conséquent le plus
rapide ~~ sera toujours préferé, économie de temps oblige. Ainsi, pour le calcul des fonctions
cosinus et sinus, on obtiendra de meilleures performances si l’on réduit l’intervalle à (0,7r/6) sur
lequel on adoptera les approximants de Maehly ; toutes choses égales par ailleurs, on conservera
les mêmes principes que ceux qui viennent d’être développes, mais on ajoutera l’analyse des cas
particuliers usuels tels que 7r/2 et 7r/4 ou encore 7r/3 et 7r/6.
Exemples d’application
a - On se propose de calculer sin(69,674 361). Nous pouvons écrire :
N = 22
et
n = 0,17803792.
Puis nous obtenons :
sl = signe (0,5 - n) = +l
et
nl = 0,5 ~ (0,5 - rb) = n.
Il nous reste donc à calculer sin(niT). L’usage de l’approximant de Padé pour p = q = 2 établi
dans un chapitre précédent permet d’obtenir le résultat suivant :
sin(69,674 361~) = 0,530 612 163 8
le dixième chiffre « significatif » étant sujet à caution. Maintenant, on se propose de calculer
cos(58,125 769 8).0 11 obtient sans problème :
N=18 et
n = 0,502 007 17.
À partir de là, nous déduisons :
Sl
=-1 et
n = 0,5 + (0,5 - n) = 0,497 992 83,
puis : s2 = -1 et
n = 0,25 + (0,25 - n) = 0,002 007 17.
Il nous faut donc calculer sin(0,002 007 177r), on trouve alors :
cos(58,125 769 8) = -0,630 566 873 9 x 10p2>
les dix chiffres significatifs mentionnes sont exacts.
b - Un autre exemple. On se propose de calculer sin(7,587214 583). On établit que :
N=2 et
7~ = 0,415 085 41
ce qui donne :
sz=-1 et
n2 = 0,084 914 59.
En adoptant l’approximant de Padé p = q = 3 pour évaluer le cosinus, nous obtenons :
sin( 7,587 214 583) = 0,964 628 186 9.
L’erreur absolue sur ce résultat est inférieure à 5 lO-‘“.
424
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si s2 est positif, on aura : sin(nrr) = sin(n2T) et
cos(n17r) = cos(npT).
Si s2 est négatif, on écrit : sin(ni7r) = cos(n27r)
et
cos(n17r) = sin(ngr).
On calcule les fonctions cosinus et sinus des réductions au moyen des approximants de Padi:
obtenus respectivement pour p = q = 3 et p = q = 2 qui assurent une précision d’au moins huit
chiffres significatifs. Il est possible de faire mieux encore, mais il nous a semblé préférable de nous
attacher surtout à la philosophie générale. Cependant, lorsqu’il s’agit d’implanter une fonction
dans un système, il n’y a plus aucun détail qui puisse etre délaisse. À précision égale, l’algorithme
qui contient le moins d’opérations logiques et arithmétiques ~ qui sera par conséquent le plus
rapide ~~ sera toujours préferé, économie de temps oblige. Ainsi, pour le calcul des fonctions
cosinus et sinus, on obtiendra de meilleures performances si l’on réduit l’intervalle à (0,7r/6) sur
lequel on adoptera les approximants de Maehly ; toutes choses égales par ailleurs, on conservera
les mêmes principes que ceux qui viennent d’être développes, mais on ajoutera l’analyse des cas
particuliers usuels tels que 7r/2 et 7r/4 ou encore 7r/3 et 7r/6.
Exemples d’application
a - On se propose de calculer sin(69,674 361). Nous pouvons écrire :
N = 22
et
n = 0,17803792.
Puis nous obtenons :
sl = signe (0,5 - n) = +l
et
nl = 0,5 ~ (0,5 - rb) = n.
Il nous reste donc à calculer sin(niT). L’usage de l’approximant de Padé pour p = q = 2 établi
dans un chapitre précédent permet d’obtenir le résultat suivant :
sin(69,674 361~) = 0,530 612 163 8
le dixième chiffre « significatif » étant sujet à caution. Maintenant, on se propose de calculer
cos(58,125 769 8).0 11 obtient sans problème :
N=18 et
n = 0,502 007 17.
À partir de là, nous déduisons :
Sl
=-1 et
n = 0,5 + (0,5 - n) = 0,497 992 83,
puis : s2 = -1 et
n = 0,25 + (0,25 - n) = 0,002 007 17.
Il nous faut donc calculer sin(0,002 007 177r), on trouve alors :
cos(58,125 769 8) = -0,630 566 873 9 x 10p2>
les dix chiffres significatifs mentionnes sont exacts.
b - Un autre exemple. On se propose de calculer sin(7,587214 583). On établit que :
N=2 et
7~ = 0,415 085 41
ce qui donne :
sz=-1 et
n2 = 0,084 914 59.
En adoptant l’approximant de Padé p = q = 3 pour évaluer le cosinus, nous obtenons :
sin( 7,587 214 583) = 0,964 628 186 9.
L’erreur absolue sur ce résultat est inférieure à 5 lO-‘“.
424