MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
de telle sorte que N soit un entier et Q un terme compris entre -1 et +l. Passant aux logarithmes
en base 2, nous pouvons écrire alors :
x log,(e) = N + Q log,(e) = N + n.
(E.4
En remarquant au passage que log, (e) log, (2) = 1, on obtient sans grande difficulté N et n.
N est la partie entière de X/ log,(2) et n la partie fractionnaire du même rapport. Le calcul de
log,(2) s’effectue au moyen d’un développement en série et l’on obtient pour log, (2) et donc
pour log,(e) autant de chiffres significatifs qu’on le souhaite. Il s’agit là de constantes calculées
une fois pour toute : log,(2) = 0,693 147 180 et log,(e) = 1,442 695 04. Il reste à calculer N et
n, puis Q = nlog,(2).
Du simple fait que la machine calcule en binaire, il n’y a pas d’erreur en calculant 2N puisque
N est entier. On obtient donc n sans problème et l’on note que Q est compris dans l’intervalle
-0,693 147 < Q < +0,693 147.
Il reste à calculer la fonction exp(Q) ce que l’on réalisera par les approximants de Maehly par
exemple. Nous aurons :
exp(Q) = 2 wXk(x)
k=O
avec
+1
a0 = -
s
-p(x)
:-l JziTdX
+1
2
ak = -
IT
Tableau E.l.
bb = 1,905 369 087
10 = +1,905 369 014
b; = 0,954 415 684
1; = -0,950 951382
b; = 0,190 992 815
1; = +0,189 261972
b; = 0,015 822 193
1; = -0,015 540 073
Le calcul des coefficients ak peut se faire par la méthode de Gauss-Tchebycheff, mais il faudra
calculer les valeurs de exp(xk), xk étant un zéro du polynôme de Tchebycheff de degré p, soit
par un développement en série, soit par un approximant de Padé déterminé dans un précédent
chapitre. Les coefficients que nous avons trouvés pour p = q = 3, en ayant développé les
polynômes de Tchebycheff, sont présentés dans le tableau E.l. On aura donc :
exp(x) = I(%x + Wx + ~:IX + % .
[(lix + 12)x + I{]x + 1;
Il faut bien noter que les degrés p et q des polynômes formant la fraction rationnelle sont fonction
de la précision recherchée. Il en va de même du nombre de chiffres significatifs qu’il convient
de conserver. Ce problème doit être étudié pour chaque cas particulier comme il a été dit à
l’occasion de l’étude des approximants de Padé et de Maehly.
422
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
de telle sorte que N soit un entier et Q un terme compris entre -1 et +l. Passant aux logarithmes
en base 2, nous pouvons écrire alors :
x log,(e) = N + Q log,(e) = N + n.
(E.4
En remarquant au passage que log, (e) log, (2) = 1, on obtient sans grande difficulté N et n.
N est la partie entière de X/ log,(2) et n la partie fractionnaire du même rapport. Le calcul de
log,(2) s’effectue au moyen d’un développement en série et l’on obtient pour log, (2) et donc
pour log,(e) autant de chiffres significatifs qu’on le souhaite. Il s’agit là de constantes calculées
une fois pour toute : log,(2) = 0,693 147 180 et log,(e) = 1,442 695 04. Il reste à calculer N et
n, puis Q = nlog,(2).
Du simple fait que la machine calcule en binaire, il n’y a pas d’erreur en calculant 2N puisque
N est entier. On obtient donc n sans problème et l’on note que Q est compris dans l’intervalle
-0,693 147 < Q < +0,693 147.
Il reste à calculer la fonction exp(Q) ce que l’on réalisera par les approximants de Maehly par
exemple. Nous aurons :
exp(Q) = 2 wXk(x)
k=O
avec
+1
a0 = -
s
-p(x)
:-l JziTdX
+1
2
ak = -
IT
Tableau E.l.
bb = 1,905 369 087
10 = +1,905 369 014
b; = 0,954 415 684
1; = -0,950 951382
b; = 0,190 992 815
1; = +0,189 261972
b; = 0,015 822 193
1; = -0,015 540 073
Le calcul des coefficients ak peut se faire par la méthode de Gauss-Tchebycheff, mais il faudra
calculer les valeurs de exp(xk), xk étant un zéro du polynôme de Tchebycheff de degré p, soit
par un développement en série, soit par un approximant de Padé déterminé dans un précédent
chapitre. Les coefficients que nous avons trouvés pour p = q = 3, en ayant développé les
polynômes de Tchebycheff, sont présentés dans le tableau E.l. On aura donc :
exp(x) = I(%x + Wx + ~:IX + % .
[(lix + 12)x + I{]x + 1;
Il faut bien noter que les degrés p et q des polynômes formant la fraction rationnelle sont fonction
de la précision recherchée. Il en va de même du nombre de chiffres significatifs qu’il convient
de conserver. Ce problème doit être étudié pour chaque cas particulier comme il a été dit à
l’occasion de l’étude des approximants de Padé et de Maehly.
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