E Calcul des fonctions
de bibliothèque élémentaires
Le calcul des fonctions de bibliothèque repose sur la décomposition préalable de la fonction
en deux parties qui seront le cas échéant une somme ou un produit. Cette décomposition
est effectuée de telle sorte qu’une des parties soit calculée exactement et que l’autre soit
une fonction dont l’argument est genéralement petit devant l’unité. Très souvent, on évalue
cette dernière fonction au moyen des approximants de Padé, de Maehly ou des fractions
continues. Malheureusement, cette technique qui donne des résultats remarquables n’est pas
systématiquement applicable. Considérons par exemple le cas des fonctions de Bessel, il n’est pas
possible dans l’état actuel de nos connaissances de procéder à leur calcul par cette voie. En effet,
on ne sait pas réduire le calcul d’une fonction de Bessel à un intervalle canonique au voisinage
de zéro ou sur l’intervalle (-1, +l) q ui nous permettrait ensuite d’utiliser les approximants déjà
évoqués.
Avant d’entreprendre à proprement parler cette étude, insistons sur le fait qu’on n’utilise
jamais directement un développement en série pour calculer les fonctions de bibliothèque. On
peut s’en persuader facilement en considérant le développement de exp((z) qui nous servira
de technique de calcul pour z = 10. Nous obtenons une série alternée dont le terme général va
commencer seulement à décroître lorsque :
10” < n!
ce qui donne approximativement :
n z 10.
On conçoit sans difficulté que les sommes partielles vont être relativement importantes avant
de décroître jusqu’à une valeur petite. Cela imposerait des mots-mémoire de taille importante
et de fort longs calculs.
Dans ce chapitre, nous nous attacherons à l’esprit de la technique du calcul d’un certain
nombre de fonctions élémentaires.
1. Calcul de exp(x) pour x appartenant à (-00, +oo)
L’idée de base pour calculer exp(z) ( sur une machine qui fonctionne avec des nombres en
représentation binaire) repose sur la décomposition de cette fonction en un produit du type :
exp(z) = 2N exp(Q)
(E.1)
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de bibliothèque élémentaires
Le calcul des fonctions de bibliothèque repose sur la décomposition préalable de la fonction
en deux parties qui seront le cas échéant une somme ou un produit. Cette décomposition
est effectuée de telle sorte qu’une des parties soit calculée exactement et que l’autre soit
une fonction dont l’argument est genéralement petit devant l’unité. Très souvent, on évalue
cette dernière fonction au moyen des approximants de Padé, de Maehly ou des fractions
continues. Malheureusement, cette technique qui donne des résultats remarquables n’est pas
systématiquement applicable. Considérons par exemple le cas des fonctions de Bessel, il n’est pas
possible dans l’état actuel de nos connaissances de procéder à leur calcul par cette voie. En effet,
on ne sait pas réduire le calcul d’une fonction de Bessel à un intervalle canonique au voisinage
de zéro ou sur l’intervalle (-1, +l) q ui nous permettrait ensuite d’utiliser les approximants déjà
évoqués.
Avant d’entreprendre à proprement parler cette étude, insistons sur le fait qu’on n’utilise
jamais directement un développement en série pour calculer les fonctions de bibliothèque. On
peut s’en persuader facilement en considérant le développement de exp((z) qui nous servira
de technique de calcul pour z = 10. Nous obtenons une série alternée dont le terme général va
commencer seulement à décroître lorsque :
10” < n!
ce qui donne approximativement :
n z 10.
On conçoit sans difficulté que les sommes partielles vont être relativement importantes avant
de décroître jusqu’à une valeur petite. Cela imposerait des mots-mémoire de taille importante
et de fort longs calculs.
Dans ce chapitre, nous nous attacherons à l’esprit de la technique du calcul d’un certain
nombre de fonctions élémentaires.
1. Calcul de exp(x) pour x appartenant à (-00, +oo)
L’idée de base pour calculer exp(z) ( sur une machine qui fonctionne avec des nombres en
représentation binaire) repose sur la décomposition de cette fonction en un produit du type :
exp(z) = 2N exp(Q)
(E.1)
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