ANNEXE D. LES APPROXIMANTS DE PADÉ ET DE M AEHLY
Tableau D.9.
2
log(l,25 - x)
k=O
Maehly
p=q=4
-1,2
0,896 088 024
0,847 958
0,042 759
0,896 046
-0,5
0,559 615 787
0,558 333
0,548 071
0,559 616
-0,l
0,300 104 592
0,301856
0,300 034
0,300 104
-0,Ol
0,231111721
0,232 049
0,231 102
0,231113
w
0,223 143 551
0,223 958
0,223 139
0,223 145
0,Ol
0,215 111379
0,215 798
0,215 106
0,215 113
071
0,139 761942
0,139 185
0,139 761
0,139 765
0,5
- -0,287 682 072
-0,287 500
-0,287 671
-0,287 688
0,7
- -0,597 837 000
-0,595 837
-0,596 951
-0,597 832
7. Difficultés liées à la recherche d’une généralisation
Il est naturel d’envisager l’usage d’autres polynômes orthogonaux, voire de fonctions orthogonales, offrant des propriétés intéressantes afin de former d’autres approximants. La difficulté
essentielle repose sur le fait qu’il n’est pas aisé d’obtenir une relation simple entre les produits de
polynômes orthogonaux telle, par exemple, la relation de récurrence utilisée avec les polynômes
de Tchebycheff. On pourrait penser à des approximants formés à partir des séries de Fourier,
mais il n’existera pas de différences fondamentales avec les approximants de Maehly, car on passe
d’une représentation à l’autre par un changement de variable du type 1~ = arccos( Quoiqu’il
en soit, les approximants de Padé et de Maehly sont à la base du calcul de toutes les fonctions
de bibliothèque existant dans les calculateurs arithmétiques quels qu’ils soient. Nous verrons
dans la prochaine annexe E comment sont effectivement calculées la plupart des fonctions de
bibliothèque à partir des approximants que nous venons d’étudier.
8. Éléments de bibliographie
G.A. BAKER et P.R. GRAVES-MORRIS (1978) Padé Approzimants, Cambridge University Press.
C. BREZINSKI (1978) Algorithmes d’accélération de lu convergence, Éditions Technip, Paris.
H. PADÉ (1892) Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles,
Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure.
H. PADÉ (1899) Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
419
Tableau D.9.
2
log(l,25 - x)
k=O
Maehly
p=q=4
-1,2
0,896 088 024
0,847 958
0,042 759
0,896 046
-0,5
0,559 615 787
0,558 333
0,548 071
0,559 616
-0,l
0,300 104 592
0,301856
0,300 034
0,300 104
-0,Ol
0,231111721
0,232 049
0,231 102
0,231113
w
0,223 143 551
0,223 958
0,223 139
0,223 145
0,Ol
0,215 111379
0,215 798
0,215 106
0,215 113
071
0,139 761942
0,139 185
0,139 761
0,139 765
0,5
- -0,287 682 072
-0,287 500
-0,287 671
-0,287 688
0,7
- -0,597 837 000
-0,595 837
-0,596 951
-0,597 832
7. Difficultés liées à la recherche d’une généralisation
Il est naturel d’envisager l’usage d’autres polynômes orthogonaux, voire de fonctions orthogonales, offrant des propriétés intéressantes afin de former d’autres approximants. La difficulté
essentielle repose sur le fait qu’il n’est pas aisé d’obtenir une relation simple entre les produits de
polynômes orthogonaux telle, par exemple, la relation de récurrence utilisée avec les polynômes
de Tchebycheff. On pourrait penser à des approximants formés à partir des séries de Fourier,
mais il n’existera pas de différences fondamentales avec les approximants de Maehly, car on passe
d’une représentation à l’autre par un changement de variable du type 1~ = arccos( Quoiqu’il
en soit, les approximants de Padé et de Maehly sont à la base du calcul de toutes les fonctions
de bibliothèque existant dans les calculateurs arithmétiques quels qu’ils soient. Nous verrons
dans la prochaine annexe E comment sont effectivement calculées la plupart des fonctions de
bibliothèque à partir des approximants que nous venons d’étudier.
8. Éléments de bibliographie
G.A. BAKER et P.R. GRAVES-MORRIS (1978) Padé Approzimants, Cambridge University Press.
C. BREZINSKI (1978) Algorithmes d’accélération de lu convergence, Éditions Technip, Paris.
H. PADÉ (1892) Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles,
Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure.
H. PADÉ (1899) Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
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