MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
R.appelons pour mémoire que les indices negatifs correspondent à des coefficients nuls. On peut
également développer les deux sommes, puis regrouper
les termes, ce qui donne en définitive :
2f(ZPdZ) = ~o(~)(Wo + blli + ‘. + b,l, + b”l”) + T1(z)(boll + bll” + bol1
+ hz2 + bals + '.. + b,-ll, + bllo + bal1 + ,$$2 + . + b,+ll,)
+ Tdx)(boh + hll + Wo + bol2 + bl13 + bal4 + . + bqp21, + b& + b311
+bzila+...+b q+zh) + T~(z)(boh + bll2 + bd1 + bsZo + b&
+ b114 + bd5 + . + b,-xl, + bd” + b411 + b5Z2 + . + b,+;&) + .
La technique de calcul demcurc la même que celle utilisee lors dc l’étude des approximants
de Padé. On égale à zéro les coefficients des polynômes de degré p + 1,~ + 2,. . ,p + 4, et l’on
considère le cas classique où p > 4. Dans ce cas; la somme
bob + hlk:+l + . + b,&,
disparaît. En apparence on retrouve la matrice obtenue lors de l’étahlissemcnt de la méthode
de Pade: mais il convient dc faire attention car a chaque ligne de la matrice, il correspond
une valeur dc p que l’on ne retrouve evidemment pas sur l’autre ligne. Il faut; par conséquent.
différencier attentivement les éléments selon la ligne à laquelle ils appartiennent. Pour mieux
situer le problème considérons les matrices dans le cas p = q = 2. Avec la méthode dc Padé on
écrira :
a2 a1 -a3
a3 a2 -a4
et en se servant de la methodc de Maehly on aura :
Q:32
QYZ
-03:3
Q4B
Q42
-Q44
et l’on n’aura pas l’égalite 032 = Q42, ni l’égalitéa4:S = 033.
En revanche, on devra écrire :
expressions dans lesquelles les 6, sont les coefficients du développement en série de Tchchycheff
que l’on souhaite distinguer du developpement en série entière.
Un exemple : étude de la fonction log,(l - 2ty + t*) sur (-1, +l)
Nous allons procéder au calcul de deux approxirnants de Maehly sur cette fonction tout simplement parce que le calcul des coefficients de la série de Tchchychcff est réalisable formellement.
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
R.appelons pour mémoire que les indices negatifs correspondent à des coefficients nuls. On peut
également développer les deux sommes, puis regrouper
les termes, ce qui donne en définitive :
2f(ZPdZ) = ~o(~)(Wo + blli + ‘. + b,l, + b”l”) + T1(z)(boll + bll” + bol1
+ hz2 + bals + '.. + b,-ll, + bllo + bal1 + ,$$2 + . + b,+ll,)
+ Tdx)(boh + hll + Wo + bol2 + bl13 + bal4 + . + bqp21, + b& + b311
+bzila+...+b q+zh) + T~(z)(boh + bll2 + bd1 + bsZo + b&
+ b114 + bd5 + . + b,-xl, + bd” + b411 + b5Z2 + . + b,+;&) + .
La technique de calcul demcurc la même que celle utilisee lors dc l’étude des approximants
de Padé. On égale à zéro les coefficients des polynômes de degré p + 1,~ + 2,. . ,p + 4, et l’on
considère le cas classique où p > 4. Dans ce cas; la somme
bob + hlk:+l + . + b,&,
disparaît. En apparence on retrouve la matrice obtenue lors de l’étahlissemcnt de la méthode
de Pade: mais il convient dc faire attention car a chaque ligne de la matrice, il correspond
une valeur dc p que l’on ne retrouve evidemment pas sur l’autre ligne. Il faut; par conséquent.
différencier attentivement les éléments selon la ligne à laquelle ils appartiennent. Pour mieux
situer le problème considérons les matrices dans le cas p = q = 2. Avec la méthode dc Padé on
écrira :
a2 a1 -a3
a3 a2 -a4
et en se servant de la methodc de Maehly on aura :
Q:32
QYZ
-03:3
Q4B
Q42
-Q44
et l’on n’aura pas l’égalite 032 = Q42, ni l’égalitéa4:S = 033.
En revanche, on devra écrire :
expressions dans lesquelles les 6, sont les coefficients du développement en série de Tchchycheff
que l’on souhaite distinguer du developpement en série entière.
Un exemple : étude de la fonction log,(l - 2ty + t*) sur (-1, +l)
Nous allons procéder au calcul de deux approxirnants de Maehly sur cette fonction tout simplement parce que le calcul des coefficients de la série de Tchchychcff est réalisable formellement.
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