ANNEXE D. LES APPROXIMANTS DE PADÉ ETDE MAEHLY
avec
1
et as = -
+l f(x)
Te1 Jr2 dx.
s
Remarque : Il n’est pas souvent simple d’obtenir les coefficients ak sous forme littérale. En
revanche on peut les obtenir assez facilement par voie numérique au moyen de la méthode de
Gauss-Tchebycheff qui fournit une remarquable précision.
Cela dit, nous obtiendrons la méthode de Maehly par transposition directe de la méthode de
Padé. On écrira :
j=o
où ici RP(x) et Pq( )
x représentent des développements en série de Tchebycheff. On peut montrer
que l’erreur est de l’ordre de TP+,+1 (x). Comme dans le cas des approximants de Padé, les
meilleures approximations sont obtenues pour p = q et p = q + 1.
À partir de la connaissance des coefficients ak, IIOUS allons effectuer des calculs tout à fait
semblables à ceux de Padé. Soit un polynôme de degré q ecrit en termes de polynômes de
Tchebycheff :
On écrit alors :
M
4
f(x)P,(x) = c &T~(X) c Ui(x).
k=O
i=o
Il nous faut à présent développer ce produit de sommes, et pour cela il faut utiliser la seconde
relation de récurrence que nous venons de rappeler. On obtient successivement :
~(X)I’,(X) = 2.2 b&Ti(z) . Tk(X) = 2 2 hhTi(x) Tk(X)
k=O
i=O
i=O k=O
= 7; f; v [Ti+k(X) +
+k,(“G)] =
f 2
+
5
bkziqt-k,(x)
k=O i=O
a=0
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