MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
5. Généralisation des approximants de Padé, méthode de Maehly
Comme nous avons eu l’occasion de nous en rendre compte les approximants de Padé donnent
une excellente précision au voisinage de zéro ; rien d’étonnant à cela puisqu’ils ont été construits
pour remplir cet office. Malheureusement quand 011 s’éloigne de zéro, cette précision décroît
notablement. Si l’on souhaite pouvoir obtenir une bonne précision sur tout l’intervalle fini (a, b)
que l’on réduira grâce à une transformation linéaire à l’intervalle canonique (-1, +l), il nous
faudra développer non plus les fonctions en série de MacLaurin mais, bien sûr, en une série de
polynômes de Tchebycheff (1821-1894). En effet, on sait que, parmi tous les polynômes de degré
n à coefficient principal réduit, c’est le polynôme de Tchebycheff de dcgri: n qui s’écarte le moins
de l’axe des J: sur l’intervalle (-1, +l) au sens de la norme du sup. Donc, si l’on développe une
fonction en série de polynômes de Tchebycheff, la précision de l’approximation sera homogène
sur tout le domaine, l’erreur oscillant entre deux extremums.
On est en droit de penser que les erreurs auront un comportement identique pour les
approximations par fractions rationnelles que l’on déduira non plus à partir de la série de
MacLaurin mais à partir du développement en série de Tchebycheff. De plus on peut ainsi espérer
construire de meilleurs algorithmes dans le cas de séries de puissances lentement convergentes et
qui donneront de meilleurs résultats que les approximants de Padé dans le cas où l’on s’éloigne
de l’origine. En revanche, ils seront moins précis dans le voisinage de zéro.
Nous avons étudié les polynômes de Tchebycheff quand nous avons évoqué la méthode
d’intégration de Gauss-Tchebycheff (cf. chapitre 8). Aussi serons-nous bref pour ce qui concerne
leurs propriétés.
Nous avons défini le polynôme de Tchebycheff de degré n au moyen de la relation (cf. chapitre 8) :
T,(z) = COS[~ arccos(z
on a donc : T”(Z) = 1
et T~(X) = IC.
Les polynômes de Tchebycheff obéissent aux relations de récurrence :
ainsi qu’à la propriété fondamentale d’orthogonalité (relativement à la fonction poids
l/.JïY?) :
À présent nous allons rappeler comment décomposer une fonction f(x) en série de polynômes
de Tchebycheff sur l’intervalle canonique (- 1, +l) sans préjudice de la généralité puisqu’il est
toujours possible de ramener tout intervalle fini 1 à cet intervalle. f(x) admet un développement
unique en série de Tchebycheff donné par l’expression :
414
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
5. Généralisation des approximants de Padé, méthode de Maehly
Comme nous avons eu l’occasion de nous en rendre compte les approximants de Padé donnent
une excellente précision au voisinage de zéro ; rien d’étonnant à cela puisqu’ils ont été construits
pour remplir cet office. Malheureusement quand 011 s’éloigne de zéro, cette précision décroît
notablement. Si l’on souhaite pouvoir obtenir une bonne précision sur tout l’intervalle fini (a, b)
que l’on réduira grâce à une transformation linéaire à l’intervalle canonique (-1, +l), il nous
faudra développer non plus les fonctions en série de MacLaurin mais, bien sûr, en une série de
polynômes de Tchebycheff (1821-1894). En effet, on sait que, parmi tous les polynômes de degré
n à coefficient principal réduit, c’est le polynôme de Tchebycheff de dcgri: n qui s’écarte le moins
de l’axe des J: sur l’intervalle (-1, +l) au sens de la norme du sup. Donc, si l’on développe une
fonction en série de polynômes de Tchebycheff, la précision de l’approximation sera homogène
sur tout le domaine, l’erreur oscillant entre deux extremums.
On est en droit de penser que les erreurs auront un comportement identique pour les
approximations par fractions rationnelles que l’on déduira non plus à partir de la série de
MacLaurin mais à partir du développement en série de Tchebycheff. De plus on peut ainsi espérer
construire de meilleurs algorithmes dans le cas de séries de puissances lentement convergentes et
qui donneront de meilleurs résultats que les approximants de Padé dans le cas où l’on s’éloigne
de l’origine. En revanche, ils seront moins précis dans le voisinage de zéro.
Nous avons étudié les polynômes de Tchebycheff quand nous avons évoqué la méthode
d’intégration de Gauss-Tchebycheff (cf. chapitre 8). Aussi serons-nous bref pour ce qui concerne
leurs propriétés.
Nous avons défini le polynôme de Tchebycheff de degré n au moyen de la relation (cf. chapitre 8) :
T,(z) = COS[~ arccos(z
on a donc : T”(Z) = 1
et T~(X) = IC.
Les polynômes de Tchebycheff obéissent aux relations de récurrence :
ainsi qu’à la propriété fondamentale d’orthogonalité (relativement à la fonction poids
l/.JïY?) :
À présent nous allons rappeler comment décomposer une fonction f(x) en série de polynômes
de Tchebycheff sur l’intervalle canonique (- 1, +l) sans préjudice de la généralité puisqu’il est
toujours possible de ramener tout intervalle fini 1 à cet intervalle. f(x) admet un développement
unique en série de Tchebycheff donné par l’expression :
414