ANNEXE D. LESAPPROXIMANTS DE PADÉ ET DE MAEHLY
On en déduit les bk :
b. = 1
bl = -0,8860626326
ba = 0,142 775 300 5
b3 = 0,600 355 363 x 10-2.
b - Approximation par la fraction rationnelle p = q = 4 - On donne les résultats du calcul :
1” = 1
Il = 0,113 9373674
12 = 3,315 091014 x 10-2
l3 = 8,160 869 521 x 106”
l4 = 1,084 070 461 x 10-”
puis, bo = 1
bl = -0,918 085 7713
b2 = 0,171400 862 3
b3 = -0,105 327 029 2 x 10-l
b4 = 0,208 963 998 1 x 10p2.
Remarque sur l’utilisation des approximants - Lorsque le degré des polynômes dépasse deux,
on a alors intérêt, pour réaliser les calculs, à utiliser le schéma de Horner (178661837) qui fait
gagner un nombre intéressant d’opérations. Soit dans le cas présent :
{[@4x + h)J: + h]x + bl)x + b,,
{[(/4x + /3)x + 1212 + I’}X + Z”
Pour se faire une idée plus tangible des approximants, on se propose de tabuler quelques
valeurs de JO(X).
Cette tabulation amène plusieurs remarques. D’une part, les approximants de Padé étant
extraits de développements en série de MacLaurin (ou de séries entières), donc valables au
voisinage de zéro, sont également eux-mêmes valables au voisinage de zéro. Le tableau D.l, page
suivante, montre à l’évidence que la précision de l’approximation se dégrade avec l’éloignement
de l’origine. Cependant il est intéressant de noter que pour la valeur x = 6 l’approximation
obtenue avec la fraction rationnelle p = q = 4 donne une précision de l’ordre de cinq pour mille
ce qui reste tout à fait raisonnable.
4.3. Développement de x-‘arctan (exemple donné par Padé)
On part du développement suivant :
x-l arctan = 1 - g + $ - $ + $ + .
Approximation par la fraction rationnelle p = 3, q = 2 - On résout le système linéaire :
5
-3
1
-7
5
-9
411
On en déduit les bk :
b. = 1
bl = -0,8860626326
ba = 0,142 775 300 5
b3 = 0,600 355 363 x 10-2.
b - Approximation par la fraction rationnelle p = q = 4 - On donne les résultats du calcul :
1” = 1
Il = 0,113 9373674
12 = 3,315 091014 x 10-2
l3 = 8,160 869 521 x 106”
l4 = 1,084 070 461 x 10-”
puis, bo = 1
bl = -0,918 085 7713
b2 = 0,171400 862 3
b3 = -0,105 327 029 2 x 10-l
b4 = 0,208 963 998 1 x 10p2.
Remarque sur l’utilisation des approximants - Lorsque le degré des polynômes dépasse deux,
on a alors intérêt, pour réaliser les calculs, à utiliser le schéma de Horner (178661837) qui fait
gagner un nombre intéressant d’opérations. Soit dans le cas présent :
{[@4x + h)J: + h]x + bl)x + b,,
{[(/4x + /3)x + 1212 + I’}X + Z”
Pour se faire une idée plus tangible des approximants, on se propose de tabuler quelques
valeurs de JO(X).
Cette tabulation amène plusieurs remarques. D’une part, les approximants de Padé étant
extraits de développements en série de MacLaurin (ou de séries entières), donc valables au
voisinage de zéro, sont également eux-mêmes valables au voisinage de zéro. Le tableau D.l, page
suivante, montre à l’évidence que la précision de l’approximation se dégrade avec l’éloignement
de l’origine. Cependant il est intéressant de noter que pour la valeur x = 6 l’approximation
obtenue avec la fraction rationnelle p = q = 4 donne une précision de l’ordre de cinq pour mille
ce qui reste tout à fait raisonnable.
4.3. Développement de x-‘arctan (exemple donné par Padé)
On part du développement suivant :
x-l arctan = 1 - g + $ - $ + $ + .
Approximation par la fraction rationnelle p = 3, q = 2 - On résout le système linéaire :
5
-3
1
-7
5
-9
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