2. Q UELQUES ALGORITHMES ACCÉLÉRATEURS DE LA CONVERGENCE DES SUITES
Pour z = 1, f(1) = 0,596 336, tandis que les quinze premières sommes partielles sont :
s; = 1,o
s: = 0,o
s; = 2,0
s3’ = -4,0
si = 20,o
si = -100,o
SG’ = 62,0
S; = -442,O
SA = 3 590,o
Sg’ = -3,26980 E + 05
Si, = 3,301820 E + 06
Si, = -3,661498 E + 07
S;, = 4,423 866 20 E + 08
S;, = -5,784634 18 E + 09>
Si, = 8,139 365 702 E + 10.
Voici les résultats obtenus :
A’d’Aitken
Epsilon-algorithme
0,596 347
0,596 572
7.3. La série de Liouville (1809-1882) - Neumann (1832-1925)
Considérons une équation intégrale de Fredholm (1866- 1927) de deuxième espèce :
1
x(t) - P
J
K(t, ~)X(S) ds = y(t),
0
que l’on écrira de façon plus concise :
x-pAx= y
où A est l’opérateur « intégrale » qui est évidemment linéaire.
Sous réserve de convergence, la série de Liouville-Neumann donne la solution du problème :
x = y + pAy + p2A2y + p3A3y + . . . + pnA”y + .
On reconnaît la série géométrique dont la convergence sera assurée si
- > Ixkl,
ii
où 1x1~ 1 est la plus grande valeur propre de A en module (cf. Jean Bass, Cours de mathématiques,
Masson, 1968 et Lichnerowicz, Algèbre et Analyse linéaires, Masson, 1955).
Ici encore, l’application de l’epsilon-algorithme vectoriel à une suite divergente conduit au
bon résultat.
41