MANUEL DE CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
même si celle-ci est divergente, c’est-à-dire hors du cercle de convergence. Considérons par
exemple la série :
1
~ = 1 - x + 52 - x3 + x4 + . . .
1+x
Cette série a un rayon de convergence strictement plus petit que 1. Appliquons les algorithmes
à la valeur x = 99. En limitant le nombre de termes à 5, on obtient les résultats suivants
5’; = 1,000 000 000 0 E + 00
S; = -9,8000000000 E+ 01
S; = 9,7030000000 E+03
S; = -9,605960000OE+05
Si = 9,5099005000
E+07.
11 est évident que cette suite diverge; cependant l’application des algorithmes donne comme
limites :
Aitken
S = 1,000 000 536 4 E - 02
Epsilon-algorithme
S = 1,000 000 000 0 E - 02
alors que le calcul direct de la fraction donne S = 10-‘.
Sur le Web (*), on donne les programmes aitkenl . c et epsi13. c qui réalisent ces opérations.
7.2. Les développements asymptotiques
Il est une autre série divergente extrêmement intéressante qui concerne les développements
asymptotiques sur lesquels les algorithmes d’accélération de la convergence donnent de remarquables résultats. Sur le plan théorique, il est aisé de rattacher ces développements aux
prolongements analytiques, car on passe de l’un à l’autre par une inversion, c’est-à-dire en
posant x = 1/x. Il n’est plus nécessaire de choisir z « grand » ni de limiter strictement la somme
partielle à calculer à un ordre bien précis N donné par le calcul des erreurs.
Voici quelques exemples de développements asymptotiques et les différents résultats obtenus
au moyen des procédés d’accélération de la convergence.
f(x) = /t-l exp(z - t) dt avec C E > 0.
z
admet comme développement asymptotique l’expression (cJ chapitre 3) :
f(x) = b - g + g - $ + . . . + (-l)d& +. . .
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
40
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
même si celle-ci est divergente, c’est-à-dire hors du cercle de convergence. Considérons par
exemple la série :
1
~ = 1 - x + 52 - x3 + x4 + . . .
1+x
Cette série a un rayon de convergence strictement plus petit que 1. Appliquons les algorithmes
à la valeur x = 99. En limitant le nombre de termes à 5, on obtient les résultats suivants
5’; = 1,000 000 000 0 E + 00
S; = -9,8000000000 E+ 01
S; = 9,7030000000 E+03
S; = -9,605960000OE+05
Si = 9,5099005000
E+07.
11 est évident que cette suite diverge; cependant l’application des algorithmes donne comme
limites :
Aitken
S = 1,000 000 536 4 E - 02
Epsilon-algorithme
S = 1,000 000 000 0 E - 02
alors que le calcul direct de la fraction donne S = 10-‘.
Sur le Web (*), on donne les programmes aitkenl . c et epsi13. c qui réalisent ces opérations.
7.2. Les développements asymptotiques
Il est une autre série divergente extrêmement intéressante qui concerne les développements
asymptotiques sur lesquels les algorithmes d’accélération de la convergence donnent de remarquables résultats. Sur le plan théorique, il est aisé de rattacher ces développements aux
prolongements analytiques, car on passe de l’un à l’autre par une inversion, c’est-à-dire en
posant x = 1/x. Il n’est plus nécessaire de choisir z « grand » ni de limiter strictement la somme
partielle à calculer à un ordre bien précis N donné par le calcul des erreurs.
Voici quelques exemples de développements asymptotiques et les différents résultats obtenus
au moyen des procédés d’accélération de la convergence.
f(x) = /t-l exp(z - t) dt avec C E > 0.
z
admet comme développement asymptotique l’expression (cJ chapitre 3) :
f(x) = b - g + g - $ + . . . + (-l)d& +. . .
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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