2.
QUELQUESALGORITHMESACCÉLÉRATEURS
DELA
CONVERGENCEDESSUITES
5. Il est possible qu’à un moment donné la quantité (
S(p) k+l - SF)) soit nulle ce qui fait tomber
en défaut le mécanisme d’accélération de la convergence puisque l’inverse de cette grandeur
produit un dépassement de capacité en machine. Dans la plupart des cas cette difficulté se
rencontre lorsque les SF’ ont été calculés à un moment donné « à la précision de la machine »
et il s’ensuit que l’on retiendra ce résultat. S’il n’en est pas ainsi, bien qu’il existe des règles
particulières qui peuvent être utilisées, il est souvent préférable d’abandonner la procédure.
En conséquence de quoi, il est recommandé d’effectuer un test sur les différences (Si,, - S(p))
dans le programme et de procéder à l’arrêt des calculs lorsque l’une de ces différences est nulle.
Au préalable, on aura pris soin d’enregistrer ou de faire imprimer les résultats partiels qui
demeurent susceptibles d’être exploités.
Réalisations pratiques - Sur le Web (*), on trouvera deux programmes réalisant l’un l’epsilonalgorithme scalaire epsilon. h et l’autre l’epsilon-algorithme vectoriel evectr0. h.
L épsilon-algorithme dans les autres chapitres
1. Calcul des limites de suites, application au calcul numérique des intégrales.
2. Calcul des séries de Fourier, suppression du phénomène de Gibbs, calcul des dérivées ayant
un développement divergent.
3. Résolution des équations f(z) = 0.
4. Accélération de la convergence des méthodes itératives utilisées lors de l’intégration des
équations différentielles.
5. Accélération de la convergence lors de la recherche des valeurs propres des matrices.
6. Accélération de la convergence lors de la résolution des systèmes linéaires et non linéaires.
7. Intégration des équations aux dérivées partielles de type elliptique.
8. Résolution des équations intégrales de Fredholm de deuxième espèce (série de LiouvilleNeumann).
On trouvera sur le Web (*) des illustrations de ces différents problèmes : aitken2. c, epsil0. c,
epsill. c, epsil2. c, epsi14. c, kacmarzi . c et newtono. c.
7. Propriétés remarquables du procédé A* d’Aitken
et de I’epsilon-algorithme
7.1. Le prolongement analytique
Si une fonction admet un développement en série de puissances convergent dans le disque D,
on peut en général effectuer le prolongement analytique de cette série en dehors du disque de
convergence. Alors il est possible d’appliquer l’un des algorithmes à la suite des sommes partielles
QUELQUESALGORITHMESACCÉLÉRATEURS
DELA
CONVERGENCEDESSUITES
5. Il est possible qu’à un moment donné la quantité (
S(p) k+l - SF)) soit nulle ce qui fait tomber
en défaut le mécanisme d’accélération de la convergence puisque l’inverse de cette grandeur
produit un dépassement de capacité en machine. Dans la plupart des cas cette difficulté se
rencontre lorsque les SF’ ont été calculés à un moment donné « à la précision de la machine »
et il s’ensuit que l’on retiendra ce résultat. S’il n’en est pas ainsi, bien qu’il existe des règles
particulières qui peuvent être utilisées, il est souvent préférable d’abandonner la procédure.
En conséquence de quoi, il est recommandé d’effectuer un test sur les différences (Si,, - S(p))
dans le programme et de procéder à l’arrêt des calculs lorsque l’une de ces différences est nulle.
Au préalable, on aura pris soin d’enregistrer ou de faire imprimer les résultats partiels qui
demeurent susceptibles d’être exploités.
Réalisations pratiques - Sur le Web (*), on trouvera deux programmes réalisant l’un l’epsilonalgorithme scalaire epsilon. h et l’autre l’epsilon-algorithme vectoriel evectr0. h.
L épsilon-algorithme dans les autres chapitres
1. Calcul des limites de suites, application au calcul numérique des intégrales.
2. Calcul des séries de Fourier, suppression du phénomène de Gibbs, calcul des dérivées ayant
un développement divergent.
3. Résolution des équations f(z) = 0.
4. Accélération de la convergence des méthodes itératives utilisées lors de l’intégration des
équations différentielles.
5. Accélération de la convergence lors de la recherche des valeurs propres des matrices.
6. Accélération de la convergence lors de la résolution des systèmes linéaires et non linéaires.
7. Intégration des équations aux dérivées partielles de type elliptique.
8. Résolution des équations intégrales de Fredholm de deuxième espèce (série de LiouvilleNeumann).
On trouvera sur le Web (*) des illustrations de ces différents problèmes : aitken2. c, epsil0. c,
epsill. c, epsil2. c, epsi14. c, kacmarzi . c et newtono. c.
7. Propriétés remarquables du procédé A* d’Aitken
et de I’epsilon-algorithme
7.1. Le prolongement analytique
Si une fonction admet un développement en série de puissances convergent dans le disque D,
on peut en général effectuer le prolongement analytique de cette série en dehors du disque de
convergence. Alors il est possible d’appliquer l’un des algorithmes à la suite des sommes partielles