MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
inchangée. Il est bon de remarquer que l’epsilon-algorithme ne s’applique qu’à des matrices
carrées ; il s’ensuit qu’une suite convergente de matrices rectangulaires ne peut pas être accélérée
par ce procédé puisque ces matrices ne possèdent pas d’inverse mais seulement deux pseudoinverses qui ne peuvent pas faire l’affaire.
En revanche, sur le plan pratique, il est tout à fait possible d’appliquer l’epsilon-algorithme à
une suite de matrices rectangulaires ou carrées pour en accélérer la convergence et cela en faisant
usage de l’epsilon-algorithme vectoriel appliqué à chacun des vecteurs-lignes ou chacun des
vecteurs-colonnes. Cette remarque prend toute sa signification lorsque la suite des matrices est
constituée de ce que l’on appelle des matrices mal conditionnées. Dans ce cas, il est extrêmement
fréquent d’obtenir des erreurs de calcul très importantes qui se répercutent sur l’ensemble des
éléments de la matrice notamment lors de l’opération d’inversion. Cet aspect négatif des choses
se trouve alors réduit par l’usage de l’epsilon-algorithme vectoriel.
L’epsilon-algorithme matriciel peut trouver une application lors des problèmes de résolution de
l’équation de Laplace (174991827) (ou de Poisson) par la méthode itérative de Gauss-Seidel dans
le cas particulier où la représentation du maillage conduit à une matrice carrée. Toutefois, quels
que soient la géométrie et le maillage retenu pour intégrer l’équation de Laplace, dès lors que
l’on utilise une méthode itérative, il est toujours possible d’utiliser ou bien l’epsilon-algorithme
scalaire ou bien l’epsilon-algorithme vectoriel.
6. Remarques et propriétés de I’epsilon-algorithme
1. Nous venons de voir la forme scalaire de l’epsilon-algorithme, la forme vectorielle et la
forme matricielle. Pour information, il existe aussi deux formes topologiques que nous nous
contentons de mentionner.
2. Lorsqu’on applique l’epsilon-algorithme à une suite, il n’est pas nécessaire de débuter les
calculs à partir du premier terme de la suite et l’on peut très bien prendre les termes de 4 en
4 à partir du rang k pour former la suite initiale (cJ l’exemple concernant le phénomène de
Gibbs).
3. L’epsilon-algorithme ne peut donner que ce qu’il a, c’est-à-dire qu’il peut accélérer la
convergence à condition toutefois que la précision des termes retenus soit suffisante. En
aucun cas il ne peut fournir une précision supérieure à celle ui a servi à faire les calculs
des termes initiaux. Autrement dit, si le dernier élément S,” de la suite initiale a été
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obtenu à la « précision de la machine », c’est-à-dire que l’addition du terme suivant de la
série laisse inchangée la valeur de SC’, il est inutile de vouloir appliquer l’epsilon-algorithme
quand bien même bénéficierait-on d’un accroissement de précision pour réaliser cette dernière
opération. Par exemple, si nous avons obtenu SC’ en simple précision, l’application de
l’epsilon-algorithme en double précision n’apportera strictement rien. Il n’est pas possible
d’extraire une information qui n’est pas contenue dans les données.
4. À l’occasion de l’étude des séries de Fourier, on rencontre un phénomène gênant qui se
manifeste au voisinage des points de discontinuité de première espèce (lorsque la fonction
développée présente ces discontinuités) : c’est le phénomène de Gibbs (183991903). L’epsilonalgorithme supprime le phénomène de Gibbs qui se traduit normalement par des oscillations
de grande amplitude lesquelles s’amortissent très lentement avec le nombre de termes de la
série de Fourier.
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inchangée. Il est bon de remarquer que l’epsilon-algorithme ne s’applique qu’à des matrices
carrées ; il s’ensuit qu’une suite convergente de matrices rectangulaires ne peut pas être accélérée
par ce procédé puisque ces matrices ne possèdent pas d’inverse mais seulement deux pseudoinverses qui ne peuvent pas faire l’affaire.
En revanche, sur le plan pratique, il est tout à fait possible d’appliquer l’epsilon-algorithme à
une suite de matrices rectangulaires ou carrées pour en accélérer la convergence et cela en faisant
usage de l’epsilon-algorithme vectoriel appliqué à chacun des vecteurs-lignes ou chacun des
vecteurs-colonnes. Cette remarque prend toute sa signification lorsque la suite des matrices est
constituée de ce que l’on appelle des matrices mal conditionnées. Dans ce cas, il est extrêmement
fréquent d’obtenir des erreurs de calcul très importantes qui se répercutent sur l’ensemble des
éléments de la matrice notamment lors de l’opération d’inversion. Cet aspect négatif des choses
se trouve alors réduit par l’usage de l’epsilon-algorithme vectoriel.
L’epsilon-algorithme matriciel peut trouver une application lors des problèmes de résolution de
l’équation de Laplace (174991827) (ou de Poisson) par la méthode itérative de Gauss-Seidel dans
le cas particulier où la représentation du maillage conduit à une matrice carrée. Toutefois, quels
que soient la géométrie et le maillage retenu pour intégrer l’équation de Laplace, dès lors que
l’on utilise une méthode itérative, il est toujours possible d’utiliser ou bien l’epsilon-algorithme
scalaire ou bien l’epsilon-algorithme vectoriel.
6. Remarques et propriétés de I’epsilon-algorithme
1. Nous venons de voir la forme scalaire de l’epsilon-algorithme, la forme vectorielle et la
forme matricielle. Pour information, il existe aussi deux formes topologiques que nous nous
contentons de mentionner.
2. Lorsqu’on applique l’epsilon-algorithme à une suite, il n’est pas nécessaire de débuter les
calculs à partir du premier terme de la suite et l’on peut très bien prendre les termes de 4 en
4 à partir du rang k pour former la suite initiale (cJ l’exemple concernant le phénomène de
Gibbs).
3. L’epsilon-algorithme ne peut donner que ce qu’il a, c’est-à-dire qu’il peut accélérer la
convergence à condition toutefois que la précision des termes retenus soit suffisante. En
aucun cas il ne peut fournir une précision supérieure à celle ui a servi à faire les calculs
des termes initiaux. Autrement dit, si le dernier élément S,” de la suite initiale a été
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obtenu à la « précision de la machine », c’est-à-dire que l’addition du terme suivant de la
série laisse inchangée la valeur de SC’, il est inutile de vouloir appliquer l’epsilon-algorithme
quand bien même bénéficierait-on d’un accroissement de précision pour réaliser cette dernière
opération. Par exemple, si nous avons obtenu SC’ en simple précision, l’application de
l’epsilon-algorithme en double précision n’apportera strictement rien. Il n’est pas possible
d’extraire une information qui n’est pas contenue dans les données.
4. À l’occasion de l’étude des séries de Fourier, on rencontre un phénomène gênant qui se
manifeste au voisinage des points de discontinuité de première espèce (lorsque la fonction
développée présente ces discontinuités) : c’est le phénomène de Gibbs (183991903). L’epsilonalgorithme supprime le phénomène de Gibbs qui se traduit normalement par des oscillations
de grande amplitude lesquelles s’amortissent très lentement avec le nombre de termes de la
série de Fourier.
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