2.
QUELQUESALGORITHMESACCÉLÉRATEURSDELA
CONVERGENCEDES
SUITES
Cette série sera étudiée chapitre 16 et elle servira d’introduction à l’étude du phénomène de
Gibbs. Du fait de la discontinuité de première espèce de la fonction, la série converge lentement
et, qui plus est, nous sommes en présence du phénomène de Gibbs. En appliquant l’epsilonalgorithme à la suite des onze sommes partielles formées entre le terme d’ordre 40 et le terme
d’ordre 50 dont voici les valeurs :
SC’)
S;‘)
= 1 002 194 232 20
= 1’043 240 233 83
S@)
5’;‘)
= 1017439
1’052 942
936 43
S@) = 1 031279 464 80
5”‘) = 1’064 575 093 01
S”)
=
1’066 278
746 94
S”” = 1’060 110 382 53
S”’
S;‘) =
=
49
= 1’061704 573 49
)
50
= 1’055 820 967 14
5’;‘) 48
1’065 271752
)
62
7
20184.
on obtient la valeur : S = 1,000689 pour la valeur 5 = 0,l.
Conclusion : l’epsilon-algorithme fait disparaître le phénomène de Gibbs, c’est-à-dire les lentes
oscillations au voisinage de la discontinuité.
4. L’epsilon-algorithme vectoriel
Les suites S(Q) ne sont plus des grandeurs scalaires mais des grandeurs vectorielles. Il est donc
nécessaire de préciser la technique de calcul des opérations proposées notamment en ce qui
concerne la grandeur :
l/ (SF& - SF’) .
La différence de deux vecteurs ne pose pas de problème, et il nous reste à définir l’inverse Vpl
(= l/V) d’un vecteur V. Cette opération n’est pas définie habituellement, mais pour le cas qui
nous préoccupe, on admettra qu’elle est réalisée en multipliant numérateur et dénominateur par
le vecteur V* dont les composantes sont les composantes complexes conjuguées du vecteur V.
Ainsi nous avons :
v-1 = v* = u*.
v. v* v2
Cette précision apportée, rien n’est modifié dans la conduite du calcul.
Si la suite à traiter est formée de nombres complexes, rien ne nous empêche de considérer
un nombre complexe comme un vecteur à deux dimensions et d’appliquer l’epsilon-algorithme
vectoriel.
Cet algorithme vectoriel trouvera son emploi chaque fois que le résultat d’un calcul itératif est
donné par un ensemble de valeurs (Uj) que l’on peut alors considérer comme les composantes
d’un vecteur. Par exemple, nous étudierons la méthode de Picard qui permet d’obtenir par
itérations un échantillon d’une certaine fonction solution d’une équation différentielle. Cette
méthode converge très lentement et il va de soi que nous pourrons l’accélérer au moyen de
l’epsilon-algorithme vectoriel.
5. L’epsilon-algorithme matriciel
Ici, il n’y a aucune difficulté à définir la différence de deux matrices carrées de même ordre et
l’inverse d’une matrice, pourvu que cette dernière soit régulière. La technique de calcul se trouve
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QUELQUESALGORITHMESACCÉLÉRATEURSDELA
CONVERGENCEDES
SUITES
Cette série sera étudiée chapitre 16 et elle servira d’introduction à l’étude du phénomène de
Gibbs. Du fait de la discontinuité de première espèce de la fonction, la série converge lentement
et, qui plus est, nous sommes en présence du phénomène de Gibbs. En appliquant l’epsilonalgorithme à la suite des onze sommes partielles formées entre le terme d’ordre 40 et le terme
d’ordre 50 dont voici les valeurs :
SC’)
S;‘)
= 1 002 194 232 20
= 1’043 240 233 83
S@)
5’;‘)
= 1017439
1’052 942
936 43
S@) = 1 031279 464 80
5”‘) = 1’064 575 093 01
S”)
=
1’066 278
746 94
S”” = 1’060 110 382 53
S”’
S;‘) =
=
49
= 1’061704 573 49
)
50
= 1’055 820 967 14
5’;‘) 48
1’065 271752
)
62
7
20184.
on obtient la valeur : S = 1,000689 pour la valeur 5 = 0,l.
Conclusion : l’epsilon-algorithme fait disparaître le phénomène de Gibbs, c’est-à-dire les lentes
oscillations au voisinage de la discontinuité.
4. L’epsilon-algorithme vectoriel
Les suites S(Q) ne sont plus des grandeurs scalaires mais des grandeurs vectorielles. Il est donc
nécessaire de préciser la technique de calcul des opérations proposées notamment en ce qui
concerne la grandeur :
l/ (SF& - SF’) .
La différence de deux vecteurs ne pose pas de problème, et il nous reste à définir l’inverse Vpl
(= l/V) d’un vecteur V. Cette opération n’est pas définie habituellement, mais pour le cas qui
nous préoccupe, on admettra qu’elle est réalisée en multipliant numérateur et dénominateur par
le vecteur V* dont les composantes sont les composantes complexes conjuguées du vecteur V.
Ainsi nous avons :
v-1 = v* = u*.
v. v* v2
Cette précision apportée, rien n’est modifié dans la conduite du calcul.
Si la suite à traiter est formée de nombres complexes, rien ne nous empêche de considérer
un nombre complexe comme un vecteur à deux dimensions et d’appliquer l’epsilon-algorithme
vectoriel.
Cet algorithme vectoriel trouvera son emploi chaque fois que le résultat d’un calcul itératif est
donné par un ensemble de valeurs (Uj) que l’on peut alors considérer comme les composantes
d’un vecteur. Par exemple, nous étudierons la méthode de Picard qui permet d’obtenir par
itérations un échantillon d’une certaine fonction solution d’une équation différentielle. Cette
méthode converge très lentement et il va de soi que nous pourrons l’accélérer au moyen de
l’epsilon-algorithme vectoriel.
5. L’epsilon-algorithme matriciel
Ici, il n’y a aucune difficulté à définir la différence de deux matrices carrées de même ordre et
l’inverse d’une matrice, pourvu que cette dernière soit régulière. La technique de calcul se trouve
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