MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
où S,+,(LzT) = &(zp+q+l ). Il est pratique alors d’écrire S,+, (z) sous mie forme plus exploitable.
soit :
S,+,(2) = zp+q+l g- c&ck.
k=O
Les coefficients C ~ C décroissent en général extrêmement rapidement si bien que le premier terme
cc est de loin prépondérant. Aussi cette remarque permet-elle d’estimer l’erreur qui est donc de
l’ordre de :
Reste à calculer cg. Pour cela, il suffit de rcprcndre le developpcment dc f(z). Pc1 (z) et d’identifier
les coefficients des termes en &q+‘. On obtient alors :
cO = a~+q+llo + ap+dl + . . . + a,+ll, = C lkaI,+,+l-k.
k=o
4. Développements de quelques fonctions en approximants de Padé
4.1. Développements de exp(x) (exemple donné par Padé)
On part du développement en série entière :
exp(z) = 1+ : + $ + $ + f +. .
k=O
Nota - Pour des raisons de commodité d’écriture, on notera l’inverse d’un nombre au moyen
du nombre souligné d’une barre, ainsi g = l/z.
a - Approximation par la fraction rationnelle p = 1, q = 3 - En choisissant 10 = 1, on
obtient le système linéaire suivant :
1 1 0
-2
2 1 1
-6
6 2 1 -z
La résolution donne :
11 = -0,75
12 = 0,25
l3 = -4,166666 106’
ou encore en rnultipliant par un facteur convenable :
l. = 24
II = -18
12= 6
13 =-1.
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