ANNEXE
D.
L ESAPPROXIMANTSDE PADÉ ETDE
M AEHLY
Théorème de Padé
Parmi toutes les fractions rationnelles irréductibles dont les termes ont des degrés égaux au plus
à p pour le numérateur et au plus à 4 pour le dénominateur, p et q étant des entiers positifs
ou nuls égaux ou inégaux, il y a une fraction R,(X)/P,(z) qui fournit une approximation dont
l’ordre est supérieur à celui de l’approximation fournie par une quelconque des autres fractions.
Nous admettrons ce théorème sans démonstration (cf. les mémoires de Padé).
Remarque 1 : Dans l’état actuel des choses, à notre connaissance, on ne sait pas dire quelle est
cette fraction rationnelle. Cependant, l’expérience montre que ce sont les termes de la diagonale
pour laquelle p et q sont égaux ou les termes de la première parallèle supérieure à la diagonale
(première sur-diagonale) telle que p = q + 1, qui fournissent les meilleures approximations.
Remarque 2 : On peut montrer que le nombre wpq est au plus égal à q, mais qu’il est aussi au
plus égal à p.
Théorème - Les polynômes RP(x) et P4( 2 ont l’un et l’autre un terme constant différent de
)
zéro ; wpq désignant zéro ou un entier positif au plus égal au plus petit des deux nombres p et q,
les degrés des termes &(Ic) et &(z) ont respectivement pour limite supérieure p - wPq, q - wPq ;
l’ordre de l’approximation a pour limite inférieure p + q + 1 ~ wp4.
Ici encore, nous ne démontrerons pas ce théorème (cf. les mémoires de Padé).
2. Sur le calcul effectif des coefficients
AU départ, on connaît les coefficients du développement en série entière que l’on désigne par ai.
Ensuite on calcule les Zk en faisant dans le système (D.l) lu = 1, ce qui permet de calculer le
second membre du système linéaire. Comme les Zk sont définis à une constante multiplicative
près, on peut rechercher à exprimer les Zk sous forme entière, mais cela demeure un problème
secondaire. Pour terminer, on calcule les bh à partir de l’expression (D.2) qui se développe selon
les égalités suivantes :
bl = aIl0 + a0Zl
b2 = a2Z0 + alll + a0Z2
b3 = a3Z0 + a211 + aIl2 + a0Z3
bd = a4Zo + a3Zi + a2Z2 + alZ3 + aoZ4
et ainsi de suite.
3. Estimation de l’erreur commise
L’erreur strictement mathématique E[f(z)] commise en remplaçant f(X) par une fraction
rationnelle s’écrit :
Pour évaluer cette erreur il est commode de revenir aux équations de départ. On peut alors
écrire :
f(x) . PAZ) = Rdx) + s,+,(x)
407
D.
L ESAPPROXIMANTSDE PADÉ ETDE
M AEHLY
Théorème de Padé
Parmi toutes les fractions rationnelles irréductibles dont les termes ont des degrés égaux au plus
à p pour le numérateur et au plus à 4 pour le dénominateur, p et q étant des entiers positifs
ou nuls égaux ou inégaux, il y a une fraction R,(X)/P,(z) qui fournit une approximation dont
l’ordre est supérieur à celui de l’approximation fournie par une quelconque des autres fractions.
Nous admettrons ce théorème sans démonstration (cf. les mémoires de Padé).
Remarque 1 : Dans l’état actuel des choses, à notre connaissance, on ne sait pas dire quelle est
cette fraction rationnelle. Cependant, l’expérience montre que ce sont les termes de la diagonale
pour laquelle p et q sont égaux ou les termes de la première parallèle supérieure à la diagonale
(première sur-diagonale) telle que p = q + 1, qui fournissent les meilleures approximations.
Remarque 2 : On peut montrer que le nombre wpq est au plus égal à q, mais qu’il est aussi au
plus égal à p.
Théorème - Les polynômes RP(x) et P4( 2 ont l’un et l’autre un terme constant différent de
)
zéro ; wpq désignant zéro ou un entier positif au plus égal au plus petit des deux nombres p et q,
les degrés des termes &(Ic) et &(z) ont respectivement pour limite supérieure p - wPq, q - wPq ;
l’ordre de l’approximation a pour limite inférieure p + q + 1 ~ wp4.
Ici encore, nous ne démontrerons pas ce théorème (cf. les mémoires de Padé).
2. Sur le calcul effectif des coefficients
AU départ, on connaît les coefficients du développement en série entière que l’on désigne par ai.
Ensuite on calcule les Zk en faisant dans le système (D.l) lu = 1, ce qui permet de calculer le
second membre du système linéaire. Comme les Zk sont définis à une constante multiplicative
près, on peut rechercher à exprimer les Zk sous forme entière, mais cela demeure un problème
secondaire. Pour terminer, on calcule les bh à partir de l’expression (D.2) qui se développe selon
les égalités suivantes :
bl = aIl0 + a0Zl
b2 = a2Z0 + alll + a0Z2
b3 = a3Z0 + a211 + aIl2 + a0Z3
bd = a4Zo + a3Zi + a2Z2 + alZ3 + aoZ4
et ainsi de suite.
3. Estimation de l’erreur commise
L’erreur strictement mathématique E[f(z)] commise en remplaçant f(X) par une fraction
rationnelle s’écrit :
Pour évaluer cette erreur il est commode de revenir aux équations de départ. On peut alors
écrire :
f(x) . PAZ) = Rdx) + s,+,(x)
407