MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
expression dans laquelle on conviendra que les coefficients affectés d’un indice négatif sont nuls.
Égalons à zéro les coefficients de degré p + 1, p + 2, . . . ,p + q. On obtient un système linéaire
constitué de q équations à q + 1 inconnues que l’on écrit :
ap+lZo + a,11 + a,-lZ2 + . + a,-q+lZq
= 0
a,+& + ap+lll + upz2 + . + a,-q+zzq
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u,+,Z0 + u~+~-IZI + a,+,-212 + . + a,l, = 0
que l’on peut encore écrire sous forme matricielle :
ap+l
aP
UP-l
.
appq+l
10
ap+2
ap+l
ap
.
ap-q+2
. = 0
11
CD.11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aP+q
++q-1
UP+-2
...
aP
1 (1
Comme le nombre d’inconnues est supérieur d’une unité au nombre d’équations, il est toujours
possible de satisfaire l’ensemble de ces équations par des valeurs des inconnues telles qu’elles
ne soient pas toutes nulles ensemble. Si l’un des déterminants de la matrice (D.l), obtenu par
suppression d’une colonne, est différent de zéro, alors toutes les inconnues sont déterminées à un
facteur multiplicatif près. En revanche, si tous les déterminants sont nuls, alors plusieurs valeurs
peuvent être choisies arbitrairement. De préférence, on s’intéresse à la suite lu, 1i, 12, . ,2, qui
commence par le plus grand nombre de zéros possible. Le polynôme Pq(x) est alors divisible
par une puissance de x dont l’exposant est noté wp4, exposant au moins égal à celui que l’on
obtiendrait en adoptant toute autre solution. Cette valeur de l’exposant est nulle lorsque ls est
différent de zéro. On note par J&(x) le polynôme dont le degré est au plus égal à p, soit :
RP(X)
= f&dO + ai-lll + aie212 + . . . + ai-&Jzi zz 2 bkxk,
i=o
k=O
(D.4
Alors on peut écrire :
f(x) . PV(X) = RP(X) + &(xp+q+l),
expression dans laquelle s(xP+q+’ ) est un infiniment petit dont l’ordre est au moins égal à
p + q + 1. Il s’ensuit que l’on peut écrire :
ou encore :
R; (xl
f(x) = m,
dans le cas où les polynômes RP(x) et P4(x) ne sont pas premiers entre eux (RP(x) et P;(x)
sont premiers entre eux). Quoi qu’il en soit, nous avons établi que la fonction f(x) pouvait être
représentée ou approchée par une fraction rationnelle au voisinage de zéro. Notons que sous la
dernière forme on aurait :
P;(x)f(x) = R;(z) + E(z~+~+‘).
Remarque : Comme dans l’expression de Pq(x) ou de P;(Z), il y a nécessairement un terme
constant différent de zéro, alors R,(z)/P,(s) d ff
i ère de f(x) d’un infiniment petit dont l’ordre
est (p + q + 1 - wpq) qui est plus grand que la somme des degrés des polynômes de la fraction.
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
expression dans laquelle on conviendra que les coefficients affectés d’un indice négatif sont nuls.
Égalons à zéro les coefficients de degré p + 1, p + 2, . . . ,p + q. On obtient un système linéaire
constitué de q équations à q + 1 inconnues que l’on écrit :
ap+lZo + a,11 + a,-lZ2 + . + a,-q+lZq
= 0
a,+& + ap+lll + upz2 + . + a,-q+zzq
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u,+,Z0 + u~+~-IZI + a,+,-212 + . + a,l, = 0
que l’on peut encore écrire sous forme matricielle :
ap+l
aP
UP-l
.
appq+l
10
ap+2
ap+l
ap
.
ap-q+2
. = 0
11
CD.11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aP+q
++q-1
UP+-2
...
aP
1 (1
Comme le nombre d’inconnues est supérieur d’une unité au nombre d’équations, il est toujours
possible de satisfaire l’ensemble de ces équations par des valeurs des inconnues telles qu’elles
ne soient pas toutes nulles ensemble. Si l’un des déterminants de la matrice (D.l), obtenu par
suppression d’une colonne, est différent de zéro, alors toutes les inconnues sont déterminées à un
facteur multiplicatif près. En revanche, si tous les déterminants sont nuls, alors plusieurs valeurs
peuvent être choisies arbitrairement. De préférence, on s’intéresse à la suite lu, 1i, 12, . ,2, qui
commence par le plus grand nombre de zéros possible. Le polynôme Pq(x) est alors divisible
par une puissance de x dont l’exposant est noté wp4, exposant au moins égal à celui que l’on
obtiendrait en adoptant toute autre solution. Cette valeur de l’exposant est nulle lorsque ls est
différent de zéro. On note par J&(x) le polynôme dont le degré est au plus égal à p, soit :
RP(X)
= f&dO + ai-lll + aie212 + . . . + ai-&Jzi zz 2 bkxk,
i=o
k=O
(D.4
Alors on peut écrire :
f(x) . PV(X) = RP(X) + &(xp+q+l),
expression dans laquelle s(xP+q+’ ) est un infiniment petit dont l’ordre est au moins égal à
p + q + 1. Il s’ensuit que l’on peut écrire :
ou encore :
R; (xl
f(x) = m,
dans le cas où les polynômes RP(x) et P4(x) ne sont pas premiers entre eux (RP(x) et P;(x)
sont premiers entre eux). Quoi qu’il en soit, nous avons établi que la fonction f(x) pouvait être
représentée ou approchée par une fraction rationnelle au voisinage de zéro. Notons que sous la
dernière forme on aurait :
P;(x)f(x) = R;(z) + E(z~+~+‘).
Remarque : Comme dans l’expression de Pq(x) ou de P;(Z), il y a nécessairement un terme
constant différent de zéro, alors R,(z)/P,(s) d ff
i ère de f(x) d’un infiniment petit dont l’ordre
est (p + q + 1 - wpq) qui est plus grand que la somme des degrés des polynômes de la fraction.
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