D Les approximants de Padé
et de Maehly
Le cadre de ce chapitre a pour toile de fond l’approximation des fonctions, qu’elles soient usuelles
ou spéciales, que l’on retrouve très fréquemment en calcul. En filigrane, se pose le problemc
de connaître les rnoyens les plus économiques qui permettent de calculer les « fonctions de
bibliothèque >).
C’est à H. Padé (186331953) que revient le mérite de s’être interrogé sur ces problèmes et
d’avoir recherche la mcthode la plus efficace possible pour realiscr des calculs nunrcriques de
fonctions (voir la bibliographie). La méthode a été ensuite reprise par Maehly comme on le
verra. Aujourd’hui encore bien des théoriciens continuent de poursuivre de tels travaux qui
dcmcurcnt ur1 vaste champ de rcchcrche. Rappelons toutefois que les approximants de Padi:
sont intimement liés aux fractions continues dc Lagrange (173661813) et que les algorithmes
d’accélcration de la convergence sont indissociables de ces études (cf. C. Brézinski p. 72 et
suivantes). Du reste, les publications originales de Padi: en 1892 et 1899 portent respectivement
pour titre : « Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles » et
« Sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle ».
1. Le théorème fondamental de Padé
Par definition, un approximant est une fraction continue (cf. annexe C) qui a été tronquce à un
certain ordre. 11 en résulte qu’un approxirnant se présente toujours sous la forme d’une fraction
rationnelle au sens le plus large.
Soit f(x) une fonction développablc en série entière au voisinage dc z = 0 qui s’ccrit :
f(x) = ao + CL12 + 42x2 +. ‘.
avec ae # 0.
Considérons le polynôme dc degré 4 :
PJX) = lo + ZlX + 1 2x2 +. ‘. + l,xY = k liXL,
2=0
et formons le produit :
405
et de Maehly
Le cadre de ce chapitre a pour toile de fond l’approximation des fonctions, qu’elles soient usuelles
ou spéciales, que l’on retrouve très fréquemment en calcul. En filigrane, se pose le problemc
de connaître les rnoyens les plus économiques qui permettent de calculer les « fonctions de
bibliothèque >).
C’est à H. Padé (186331953) que revient le mérite de s’être interrogé sur ces problèmes et
d’avoir recherche la mcthode la plus efficace possible pour realiscr des calculs nunrcriques de
fonctions (voir la bibliographie). La méthode a été ensuite reprise par Maehly comme on le
verra. Aujourd’hui encore bien des théoriciens continuent de poursuivre de tels travaux qui
dcmcurcnt ur1 vaste champ de rcchcrche. Rappelons toutefois que les approximants de Padi:
sont intimement liés aux fractions continues dc Lagrange (173661813) et que les algorithmes
d’accélcration de la convergence sont indissociables de ces études (cf. C. Brézinski p. 72 et
suivantes). Du reste, les publications originales de Padi: en 1892 et 1899 portent respectivement
pour titre : « Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles » et
« Sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle ».
1. Le théorème fondamental de Padé
Par definition, un approximant est une fraction continue (cf. annexe C) qui a été tronquce à un
certain ordre. 11 en résulte qu’un approxirnant se présente toujours sous la forme d’une fraction
rationnelle au sens le plus large.
Soit f(x) une fonction développablc en série entière au voisinage dc z = 0 qui s’ccrit :
f(x) = ao + CL12 + 42x2 +. ‘.
avec ae # 0.
Considérons le polynôme dc degré 4 :
PJX) = lo + ZlX + 1 2x2 +. ‘. + l,xY = k liXL,
2=0
et formons le produit :
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