MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
cc qui permet d’obtenir le développement suivant :
Remarque : Si nous connaissons les réduites d’une fraction continue, réciproquement: il lui
correspond une série dont le terme général Ut, s’écrit :
thk = & - Rk-1.
5. Développement en fractions continues de séries usuelles
Considérons le développement général d’une fonction en série de MacLaurin :
s = 2 QkXk.
k=O
Nous obtenons, par application directe du résultat établi au paragraphe 4, le développement en
fraction continue suivant :
D’un point de vue pratique, c’est-à-dire dès que les applications sont en vue, on a tout intérêt
à procéder à la transforrnation de la suite des ap de la manière suivante : on forme la suite des
P T > obtenue en posant :
Po = Qo
P1= Ql
pq = aq/c+l
avec q > 2;
ceci a pour but une économie évidente de calcul. Par application de ce procédé, on obtient les
développements suivants :
xl
1%
log,(l ~X) = - + ~
22x1
(P - U2xl
~
11 lpJ:+ l3-2x+-‘+ Ip-(p-:l)x+- avec lxlcl.
mxl
(1 + x)7rL = 1 + II -
x(m - 1)/2l
x(m -P - ~)/PI
Il+x(m-1)/2-“’
Il+x(m-p-l)/p-“’
avec Ix/ < 1.
xl
12x” 1
arctan = - + ~
32x2 1
(2p ~ 1)2x21
~
11
~3-x”+~5-3x”+“‘+~(2p+~)-(2p-~)x2+”~
aveC
lxlsl.
Xl
Xl
2x1
exp(z) = 1 + - ~ ~ ~ ~
(P ~ 11x1
11 12+x
13+x
+...+
Ip+x
+.‘.
On notera que la convergence de la fraction continue est assurée dans le même domaine que
celui qui assure la convergence de la série entière génératrice.
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