ANNEXE C. LES FRACTIONS CONTINUES
Calcul des ak et des bk à partir des réduites
Du point de vue numkrique, il va dc soi que le calcul d‘une fraction continue se ramène tolljours à
UC approximation rkalisée au moyen d’une réduite. Cependant, il est indispensat)le d’(~xaminer
sous l’angle de la Fgitimité les opbrations susceptibles d’être réalisées. Il est possitk dc calculer
les coeffkicnts ak et bk au moyen des réduites R,, Rqpl et Rqp2. En effet, à partir des relations dc
rkurrcnce établies au paragraphe 2, nous obtenons un système linéaire dont la solutjion s’krit :
On remarquera que les relations (C.7) sont définies à u11c constante multiplicative prc’s ; on
obtient alors des fractions continues dites équivalentes, tout simplement parce que tjoutjcs les
rbduites sont égales. Il s’ensuit que les réduites dépendent, dc paramètres arbitraires non nuls.
Choisissons comme contrainte linéaire :
Nous pouvons écrire :
Il est souvent commode dc choisir arbitrairement les cy Cgaux à 1, on obtient alors des expressions
très simples :
4. Développement en fraction continue à partir d’un développement
en série entière
On considkre le dtvcloppement en skie suivant :
et l’on souhaite que les sornmcs
partielles SP soient @ales aux rtduites R,, dr la fraction
continue R :
Ull
fiaI
arr 1
R zz bu + ~ + - + . . + - + . .
lb1
lb2
lb,,
Compte tenu dts résultats obtenus au paragraphe prkédent: on peut écrire :
s-1 - s,
(4 = sqpl ~ s,-, et
b = sq -z-2
C l s,-1 -As,-2
Si l’on tient cornptc du fait que S, ~ S,-l = uy: nous pouvons kcrire :
401
Calcul des ak et des bk à partir des réduites
Du point de vue numkrique, il va dc soi que le calcul d‘une fraction continue se ramène tolljours à
UC approximation rkalisée au moyen d’une réduite. Cependant, il est indispensat)le d’(~xaminer
sous l’angle de la Fgitimité les opbrations susceptibles d’être réalisées. Il est possitk dc calculer
les coeffkicnts ak et bk au moyen des réduites R,, Rqpl et Rqp2. En effet, à partir des relations dc
rkurrcnce établies au paragraphe 2, nous obtenons un système linéaire dont la solutjion s’krit :
On remarquera que les relations (C.7) sont définies à u11c constante multiplicative prc’s ; on
obtient alors des fractions continues dites équivalentes, tout simplement parce que tjoutjcs les
rbduites sont égales. Il s’ensuit que les réduites dépendent, dc paramètres arbitraires non nuls.
Choisissons comme contrainte linéaire :
Nous pouvons écrire :
Il est souvent commode dc choisir arbitrairement les cy Cgaux à 1, on obtient alors des expressions
très simples :
4. Développement en fraction continue à partir d’un développement
en série entière
On considkre le dtvcloppement en skie suivant :
et l’on souhaite que les sornmcs
partielles SP soient @ales aux rtduites R,, dr la fraction
continue R :
Ull
fiaI
arr 1
R zz bu + ~ + - + . . + - + . .
lb1
lb2
lb,,
Compte tenu dts résultats obtenus au paragraphe prkédent: on peut écrire :
s-1 - s,
(4 = sqpl ~ s,-, et
b = sq -z-2
C l s,-1 -As,-2
Si l’on tient cornptc du fait que S, ~ S,-l = uy: nous pouvons kcrire :
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