MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQTJE
APPLIQUÉ
110115 oht,cnons :
Ces deux dernières relations sont celles que l’on obtient en remplaçant p par (1J + 1) dans
les equations (C.7). Comme les expressions (C.7) sont vraies pour p = 2, on en deduit par
rCcurrence
qu’elles sont générales. Par ailleurs, si l’on désire pouvoir 6galenient les utiliser pour
n = 1. il suffit de choisir les convernions A-. 1 = 1 ct B-1 = 0.
2.2. Une autre relation intéressante
Multiplions A,+r p ar B, et B,+l par A rI; puis retranchons mcmlne à membre les relations de
rccurrence. Nous ohtcnons :
L4,+~B, - B,+lA, = -af,+l(A,,Br,-~ - &IB,,).
En posa.nt lJ,+r = A,+lB3, ~ B,+lAI,. on obtient la relation :
upfl = -%I+l p.
u
Comme Ur = AIBu - B,Ao = ai, on trouve en définitive :
ou encore. cn divisant (C.2) par le produit BI,B,,+l, on établit :
u pfl
A
_ P+I
%%+I
Bp+r
(C.8)
cc.91
2.3. Propriétés essentielles
On adrnettra sans dCmonstration les deux propositions suivantes :
1. les polynômes A, et BT, des variables aTa, ar, a~, . . , ulI: bo, bl, hz, . . b, sont, irrcductihles entre
eux. ou encore premiers entre eux, si les va~riahles uh et les variables b h : sont indcpendantes :
2. aucune ri:diiitje ne se présente sous la forme O/O.
3. Les fractions continues infinies
Dans ce cas la fraction contimre devient illimitee ct la notion de convergence s’introduit tout
naturcllcrnent lors dc Cet)te étude.
Considérons la réduite R,, d’ordre rr,. Si R,, tend vers une limite R lorsque ~ 1 croît ind&nment.
on dira que la fraction continue est convergente et a pour limite R. Dans lc cas contraire, nous
dirons qu’elle est divcrgcnte.
Remarque : Supposons que clk = 0. Les relations de recurrcncc (C.8) et (C.9) nous donnent :
&Bkpl - AkplB,> = 0.
Ak
A-1
-xp=
“lt’
:
BABk-1
0
donc : Rkpl = RAI = 0,
et la fraction continue est alors finie. On conclut que, si ime fraction continue est, infinic~ tous
ses uk sont différents de zéro.
DE
CALCUL
NUMÉRIQTJE
APPLIQUÉ
110115 oht,cnons :
Ces deux dernières relations sont celles que l’on obtient en remplaçant p par (1J + 1) dans
les equations (C.7). Comme les expressions (C.7) sont vraies pour p = 2, on en deduit par
rCcurrence
qu’elles sont générales. Par ailleurs, si l’on désire pouvoir 6galenient les utiliser pour
n = 1. il suffit de choisir les convernions A-. 1 = 1 ct B-1 = 0.
2.2. Une autre relation intéressante
Multiplions A,+r p ar B, et B,+l par A rI; puis retranchons mcmlne à membre les relations de
rccurrence. Nous ohtcnons :
L4,+~B, - B,+lA, = -af,+l(A,,Br,-~ - &IB,,).
En posa.nt lJ,+r = A,+lB3, ~ B,+lAI,. on obtient la relation :
upfl = -%I+l p.
u
Comme Ur = AIBu - B,Ao = ai, on trouve en définitive :
ou encore. cn divisant (C.2) par le produit BI,B,,+l, on établit :
u pfl
A
_ P+I
%%+I
Bp+r
(C.8)
cc.91
2.3. Propriétés essentielles
On adrnettra sans dCmonstration les deux propositions suivantes :
1. les polynômes A, et BT, des variables aTa, ar, a~, . . , ulI: bo, bl, hz, . . b, sont, irrcductihles entre
eux. ou encore premiers entre eux, si les va~riahles uh et les variables b h : sont indcpendantes :
2. aucune ri:diiitje ne se présente sous la forme O/O.
3. Les fractions continues infinies
Dans ce cas la fraction contimre devient illimitee ct la notion de convergence s’introduit tout
naturcllcrnent lors dc Cet)te étude.
Considérons la réduite R,, d’ordre rr,. Si R,, tend vers une limite R lorsque ~ 1 croît ind&nment.
on dira que la fraction continue est convergente et a pour limite R. Dans lc cas contraire, nous
dirons qu’elle est divcrgcnte.
Remarque : Supposons que clk = 0. Les relations de recurrcncc (C.8) et (C.9) nous donnent :
&Bkpl - AkplB,> = 0.
Ak
A-1
-xp=
“lt’
:
BABk-1
0
donc : Rkpl = RAI = 0,
et la fraction continue est alors finie. On conclut que, si ime fraction continue est, infinic~ tous
ses uk sont différents de zéro.