ANNEXE C. L ES FRACTIONS CONTINUES
Toujours par définition, on appelle réduite d’ordre p (avec q 5 n) d’une fraction continue
d’ordre n, la fraction continue tronqke à l’ordre q, notée :
2.1. Relations de récurrence entre les termes des réduites
En krivant les réduites successives on trouve :
A0 -=
BO
b0,
Al
Wl + a1
-=h«+z=
b
BI
)
1
A2 -=bo+
u1
=
oIL
b b b‘ + albs + albo
B2
bi + azlbz
blbz + u2
I
soit encore :
A2
bzA1 + uaAo
-=
B2
bzB1 + u2Bo
Cett>e dernière expression se généralise de la manière suivante :
p _ bpA,-1 + u,A,-2
A
BT, - bpBp-1 + u&4-2
((3.7)
Signalons que cette façon d’écrire contient deux égalités : celle des numérat,eurs
ct celle des
dénominateurs. Nous allons démontrer la relation (C.7) par rCcurrence
en faisant la supposition
qu’elle est vraie pour la valeur p; examinons alors la réduite d’ordre (p + 1) :
A
R
P+I
p+l = ~
B P+I
Pour réaliser les calculs, il suffit de remplacer b, par b, + ~,+~/b,+~ dans la réduite d’ordre p.
Nous obtenons :
soit encore :
R
(bb,+l + up+l )A,-1 + ~,Ap-zbl,+~
‘+’ = (bpbp+l +a,+dBp-1 + a,B,-zb,+l ’
ce qui peut encore s’écrire :
bp+l (bTIATl-~ + a,A,-2) + ap+lAp-l
’ -b
p+l ~ P+I @pBp-1 + a,B,-2) + u,+~B,-~ ’
et puisqut A, = b,A,-1 + a,A,-2
et BT, = b,B,-1 + u,B,-2