MANIJEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Rien ne nous empêche de traiter l’équation (C.3) comme nous avons traité l’équation (C.l)
en écrivant :
Écrivons que l’expression (C.4) prend la valeur b, quand z = a3
cc.41
(j # Ql) :
cc.51
le second membre n’étant, rien d’autre que l’inverse de la différcncc deuxième diviscc ; notons-la
&(a~, ul, u3), j prenant les valeurs 2,3.. .2n.
En poursuivant la procédure jusqu’à j = 2n, et en not,ant 6(urj, ar, ~2,. (~2~) l’inverse de la
différence 2ne divisée, on aboutit à l’expression :
y=bo+
2 ~ ao
CC.61
quo, a11 +
2 - a1
6(ao, a1, Q) +
x ~ a2
6(ao,
a1, a2, a3) + . +
x - h-1
quo, a1, a2, . , a2n)
La fonction y est donnée sous forme appelée fraction continue, et l’on verra un peu plus loin
comment calculer numériquement une telle expression au moyen de relations de récurrence qui
permettent d’obtenir la quantité définie par la relation (C.l).
2. Les fractions continues finies
Par définition, on appelle fraction continue R,, d’ordre n une expression telle que :
R, = bo +
a0
h +
a1
b2 +
a2
+b:s +
a3
+&+...F
F L
Comme cette notation n’ut,ilise pas une écriture lincaire, on préfère de facon trCs usuelle les
formes conventionnelles suivantes :
R,, = bo + uo/bl + ai/bz + . + a+i/bn,
ou encore :
UOl
Ull
G-11
R, = b. + - + - + . . + ~
lb1
lb2
lb,, ’
ak s’appelle le numérateur partiel tandis que bk s’appelle le dénominateur partiel. si l’on
développe une fraction continue finie, comme on l’a vu à propos de l’exemple précédent, elle
prend la forrne d’une fraction rationnelle que l’on note :
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