C 1 Les fractions continues
Aujourd’hui, l’enseignement traditionnel effectuk en France ne fait plus guère état dc l’cxistencc
tics fractions continues, pourtant ces êtres mathématiques ne sont pas tombés c:ompl~terrle:rIt en
désuét,udc
car ils demeurent un remarquahlc procédé de calcul des fonct,ions
usucllcs qui sont
installées dans les calculateurs. De plus, l’ktude des approximants dc Padk (1863-1953) ainsi que
les fondernents thboriques de l’epsilon-algorithme sont indissociables des propriktks
essenticllcs
des fract,ions
continues. C’est la raison pour laquelle nous avons pensb qu’il ktait utile d’en
prkscnter
les éléments.
1. Un exemple de fraction continue
L’cxcmple qui va nous servir d’introduction à la présentation des fractions contimles n’est rien
d’autre qu’un aspect du problème de l’interpolation. 011 se propose de dkterrnincr une certaine
fraction rationnelle :
(C.1)
où Pn(x) et Qn( z sont chacun des polynômes de degré rl de telle sorte que c/ prenne la valeur
)
bj quand z prend la valeur aj. On voit que 2r> + 1 couples de valeurs sont nécessaires B la
détermination de la solution; on les numérote de 0 à, 2~1. On peut écrire (C.l) de la fac;on
suivante :
2 - a0
yzbo+Q71.(Z)
cc.21
~‘,,-l(~)
cette forme montre bien que y = b. quand z = ajo. Écrivons que l’expression (C.2) prend la
valeur b,, quand J: = nj (j # 0) :
CC.31
le second rnembrc n’étant rien d’autre que l’inverse de la différence première divisée : notonsla 6(no, aj), j prenant les valeurs 1,2, . .2n. Rappelons C~IE les différences divisées sont les
diffkrcnces premières, deuxièmes etc. (rencontrées lors de l’étude des polynômes d’interpolation)
divisées chaque fois par un terme du type (a,, - uk) j # k.
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Aujourd’hui, l’enseignement traditionnel effectuk en France ne fait plus guère état dc l’cxistencc
tics fractions continues, pourtant ces êtres mathématiques ne sont pas tombés c:ompl~terrle:rIt en
désuét,udc
car ils demeurent un remarquahlc procédé de calcul des fonct,ions
usucllcs qui sont
installées dans les calculateurs. De plus, l’ktude des approximants dc Padk (1863-1953) ainsi que
les fondernents thboriques de l’epsilon-algorithme sont indissociables des propriktks
essenticllcs
des fract,ions
continues. C’est la raison pour laquelle nous avons pensb qu’il ktait utile d’en
prkscnter
les éléments.
1. Un exemple de fraction continue
L’cxcmple qui va nous servir d’introduction à la présentation des fractions contimles n’est rien
d’autre qu’un aspect du problème de l’interpolation. 011 se propose de dkterrnincr une certaine
fraction rationnelle :
(C.1)
où Pn(x) et Qn( z sont chacun des polynômes de degré rl de telle sorte que c/ prenne la valeur
)
bj quand z prend la valeur aj. On voit que 2r> + 1 couples de valeurs sont nécessaires B la
détermination de la solution; on les numérote de 0 à, 2~1. On peut écrire (C.l) de la fac;on
suivante :
2 - a0
yzbo+Q71.(Z)
cc.21
~‘,,-l(~)
cette forme montre bien que y = b. quand z = ajo. Écrivons que l’expression (C.2) prend la
valeur b,, quand J: = nj (j # 0) :
CC.31
le second rnembrc n’étant rien d’autre que l’inverse de la différence première divisée : notonsla 6(no, aj), j prenant les valeurs 1,2, . .2n. Rappelons C~IE les différences divisées sont les
diffkrcnces premières, deuxièmes etc. (rencontrées lors de l’étude des polynômes d’interpolation)
divisées chaque fois par un terme du type (a,, - uk) j # k.
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