ANNEXE C. LES FRACTIONS CONTINUES
6. Développement en fraction continue à partir d’un produit infini
Bien que les produits infinis ne jouent pas ml rôle aussi important que celui tenu par les
développements en série entière, il est tout de meme intéressant de voir comment de tels produits
permettent de générer un développement en fraction continue. Précisons que nous limitons notre
étude aux produits infinis de monômes que nous écrirons donc sous la forme :
P = fi(l + u,).
i=l
Pour étudier la convergence de P, il suffit de passer aux logarithmes, ce qui permet de se
ramener a l’étude d’une suite classique dont le terme général se rnet sous la forme :
W
- log,(l + U,,).
nComme les suites ~u,,I et Iw,I convergent ou divergent simultanement, il suffit de s’assurer de
la convergence de lu,1 pour obtenir la convergence absolue du produit, lequel, alors, admet une
limite non nulle. Donc, en définitive, on souhaite former la fraction continue R dont les réduites
R, sont égales aux produits partiels Pc,. On entend par produit partiel d’ordre 4 le produit fini
des 4 premiers termes du produit infini. Puisque :
RI, = Pp = fii, + vi),
i=l
nous pouvons écrire :
pq-1pq
pq-1%~
uq = Pqpl - Pqp‘J = -‘uqpl - Pq-2
= “4(1+ Uq-r),
uqp1
et b, =
pq - pc]-2
Pqpl - Pqp2 =
-1+ (1+ uq)(l + v-1) =1+ T/q(l tu,-1)
Uq-1
uq-1
’
cc qui permet de conclure que :
b, = 1 ~ a,.
En adoptant comme notation Po = 1, cela nous permet d’écrire ba = 1, et puisque PI =
1 + ~1 = RI = ba + ar/br, cela entraîne que :
a1 = ul et
bl = 1,
ainsi nous obtenons la fraction continue
a11
R = 1 + II + ,l-‘u2 +
a31
%
Il -a3
+...+ Il-aq +...
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