A NNEXE B. POLYNÔMES ORTHOGONAUX RELATIVEMENT À UNE FONCTION POIDS
4. Relation de récurrence entre trois polynômes orthogonaux consécutifs
Théorème
Entre t,rois polynômes orthogonaux conskutifs, il existe toujours une relation de récurrence dc
la forme :
K(x) - (Anx + %)Wn-I(X) + CmW-z(x) = 0
(B.2)
où A,,; B,,, et C,, sont trois constantes qui ne dépendent que de n.
Pour obtenir cc théorème, OII procedc de la manière suivante : d’abord on ajuste le coefficient
A,, cn identifiant les termes de degré n, ce qui revient à écrire que :
II(x) = W,,(x) - A,W,,-, (x)x
est 1111 polynôme de degré (n. - 1) au plus.
Développons alors II(z) sur la base dc polynômes PV7 (x) :
n(x) = n()W()(x) + ulW* (.lz) + . . . + U,,-lWn-l (x).
En écrivant les relations d’orthogonalitk pour k < (n - 2), on obtient :
b
b
1
&ll(x)W(x) dz = A,
s
w(x)xWk(x)Wn~, (x) dz = 0
a
a
ca,r XIV~(.~) est au plus UII polynôme de degré (n - 2). On cn conclut que :
a() = a1 = U‘J = us = . . . = u,,p:< = 0
Il suffit, dc poser : u,,-z = -CTL ct n,,- ~
i ~ B, pour obtenir la relation de rkurrcnce proposée.
L’intérêt, de cc theorème repose sur lc calcul effectif des coefficients des polynômes
orthogonaux : il suffit dc connaître la relation dc rkurrence ainsi que les coefficients dc deux polynômes
consécutifs (génCralement
les deux prcmicrs IVe(z) et
des autres polynômes.
5. Généralisation de la méthode de Gauss
La méthode dc Gauss généralisée s’applique au calcul
Wi(,z)) pour obtenir tous les coefficients
d’intégrales de la forme :
1 = /i(x).f(x) dz
où f(.z) est une fonction régulière sur (a, h) représentable par 1111 polynôme sur cet intervalle ct
ou W(T) est une fonction définie positive ou nulle sur (a, 6) p ouvant prkcnter des singularités
sans pour autant, altérer la convergence de l’intégrale 1. Du reste, dans le cas le plus @ni:ral,
les singularités se présentent aux bornes a ou b du domaine, lequel, rappelons-le, peut être fini
ou infini selon les cas. On conserve la relation (7.12) du chapitre 7 pour calculer une valeur
approchée de l’intégrale 1, soit J cette approximation :
il
J = c %f(~~)
03.3)
j=o
et 1’011 conserve également le critère précédemment retenu pour obtenir les H3 et les xJ : il faut
que 1 = J si f(z) est un polynôme arbitraire dont le de@ est le plus élevé possible ; on dksigne
par Q,,(X) ce polynôme.
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4. Relation de récurrence entre trois polynômes orthogonaux consécutifs
Théorème
Entre t,rois polynômes orthogonaux conskutifs, il existe toujours une relation de récurrence dc
la forme :
K(x) - (Anx + %)Wn-I(X) + CmW-z(x) = 0
(B.2)
où A,,; B,,, et C,, sont trois constantes qui ne dépendent que de n.
Pour obtenir cc théorème, OII procedc de la manière suivante : d’abord on ajuste le coefficient
A,, cn identifiant les termes de degré n, ce qui revient à écrire que :
II(x) = W,,(x) - A,W,,-, (x)x
est 1111 polynôme de degré (n. - 1) au plus.
Développons alors II(z) sur la base dc polynômes PV7 (x) :
n(x) = n()W()(x) + ulW* (.lz) + . . . + U,,-lWn-l (x).
En écrivant les relations d’orthogonalitk pour k < (n - 2), on obtient :
b
b
1
&ll(x)W(x) dz = A,
s
w(x)xWk(x)Wn~, (x) dz = 0
a
a
ca,r XIV~(.~) est au plus UII polynôme de degré (n - 2). On cn conclut que :
a() = a1 = U‘J = us = . . . = u,,p:< = 0
Il suffit, dc poser : u,,-z = -CTL ct n,,- ~
i ~ B, pour obtenir la relation de rkurrcnce proposée.
L’intérêt, de cc theorème repose sur lc calcul effectif des coefficients des polynômes
orthogonaux : il suffit dc connaître la relation dc rkurrence ainsi que les coefficients dc deux polynômes
consécutifs (génCralement
les deux prcmicrs IVe(z) et
des autres polynômes.
5. Généralisation de la méthode de Gauss
La méthode dc Gauss généralisée s’applique au calcul
Wi(,z)) pour obtenir tous les coefficients
d’intégrales de la forme :
1 = /i(x).f(x) dz
où f(.z) est une fonction régulière sur (a, h) représentable par 1111 polynôme sur cet intervalle ct
ou W(T) est une fonction définie positive ou nulle sur (a, 6) p ouvant prkcnter des singularités
sans pour autant, altérer la convergence de l’intégrale 1. Du reste, dans le cas le plus @ni:ral,
les singularités se présentent aux bornes a ou b du domaine, lequel, rappelons-le, peut être fini
ou infini selon les cas. On conserve la relation (7.12) du chapitre 7 pour calculer une valeur
approchée de l’intégrale 1, soit J cette approximation :
il
J = c %f(~~)
03.3)
j=o
et 1’011 conserve également le critère précédemment retenu pour obtenir les H3 et les xJ : il faut
que 1 = J si f(z) est un polynôme arbitraire dont le de@ est le plus élevé possible ; on dksigne
par Q,,(X) ce polynôme.
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